ラプラス変換ラプラス変換とは？｜ラプラス変換の定義と収束条件の証明
今回から、線形常微分方程式を解くときに威力を発揮するラプラス変換について説明します。ここでは、ラプラス変換の定義とラプラス変換の収束する条件について説明します。ラプラス変換の定義$f(t)$ を $0 \leq t$ で定義された関数とする...
ラプラス変換
特殊関数ベータ関数とは？｜ベータ関数の性質と定積分への応用
今回は、ガンマ関数やベッセル関数などの特殊関数の一種である、ベータ関数の性質とその応用について説明します。さて、ベータ関数は次のように定義される関数で、下記のような性質を持ちます。ベータ関数の定義と性質$m,n>0$ として、ベータ関数 $...
物理数学ニュートン・ラプソン法とは？｜非線形方程式の数値解法
方程式や微分方程式の近似解を数値的に見出す様々な手法がありますが、今回はその中でも代表的なニュートン・ラプソン法と具体例について説明します。ニュートン・ラプソン法とは？以下に示す手法で $f(x)=0$ の近似解を数値的に計算する方法をニュ...
物理数学四元数とは？｜四元数の形式和と三次元空間における回転の関係
今回は、複素数を拡張した概念である四元数について説明します。四元数とは？$q_0,q_1,q_2,q_3$ を実数として、$i,j,k$ を虚数とする。このとき、四元数を以下のように定義する。\begin{split}q=q_0+iq_1+...
物理数学ロドリゲスの回転公式とは？｜ベクトルの回転公式の導出
以前、回転を行列を用いて表現し、これにより回転行列を導きました。今回はベクトルを用いて回転を表現する方法を考えます。結論から示すと、以下のようなロドリゲスの回転公式が成立します。ロドリゲスの回転公式回転軸 $l$ と平行な単位ベクトルを $...
物理数学ライプニッツの定理とは？｜積の微分法則の一般化とその証明
今回は、積の微分法則を一般化したライプニッツの定理について説明します。ライプニッツの定理$x$ の関数 $f,g$ について $n$ 回微分が可能ならば、これらの積の $n$ 階微分について以下が成立する。\begin{split}(fg)...
物理数学球面三角法とは？｜球面三角形の余弦定理と正弦定理の導出
三角形については、余弦定理や正弦定理が成り立つことは高校数学で学んでいると思いますが、実は球面上に描いた三角形（＝球面三角形）についても、同様の定理が成立します。例えば、半径 $1$ の球から三角錐のような形状を切り出したとして、図のように...
天体力学ゼーリガーのパラドックス｜万有引力の法則のパラッドクス
今回は、万有引力の法則を宇宙全体に適用したときに導かれる、ゼーリガーのパラドックスについて考えていきます。ゼーリガーのパラッドクスには色々な言い換えがありますが、代表的には次のように述べられます。ゼーリガーのパラドックス宇宙が一様かつ無限で...
天体力学GPSの仕組みとは？｜GPSの測位原理と受信位置の推算方法
$\RM{GPS(Global\,Positioning\,System)}$ に代表される衛星測位システムは日常生活に必要不可欠なシステムと言えます。$\RM{GPS}$ 衛星はアメリカが運用していますが、これらの衛星測位システムを補完す...
天体力学準天頂軌道とは？｜準天頂衛星の軌道と軌跡の導出
以前、軌道要素から衛星の位置と速度を求める方法について説明しましたが、今回はこれを使って準天頂衛星「みちびき」の衛星の軌道について計算してみます。準天頂軌道とは？公転周期が惑星の自転周期と等しく、特定の地域の上空に長時間留まるような軌道のこ...