フーリエ解析・フーリエ変換

波動方程式のフーリエ変換|フーリエ変換による微分方程式の解法①

今回より、フーリエ変換とフーリエ逆変換を組み合わせて偏微分方程式を解く方法について説明します。今回は、弦の振動を表す偏微分方程式である波動方程式を、フーリエ変換により解く方法を説明します。\begin{eqnarray}\ff{\del^2...
フーリエ解析・フーリエ変換

フーリエ変換表・フーリエ逆変換表|代表的な関数のフーリエ変換とフーリエ逆変換

代表的な関数のフーリエ変換・フーリエ逆変換の結果を下表に示します。【フーリエ変換・フーリエ逆変換表】$f(t)=\F^{-1}\Big$$F(w)=\F\Big$関連項目定数関数$1$$\sqrt{2\pi}\,\delta(w)$(※$\...
フーリエ解析・フーリエ変換

三角関数とフーリエ変換・フーリエ逆変換の関係|フーリエ変換の具体例と応用⑦

微分方程式を解くためにフーリエ変換やフーリエ逆変換を実行する際、関数に三角関数が含まれることがしばしばあります。今回は、三角関数を含む関数のフーリエ変換やフーリエ逆変換の性質について説明します。三角関数とフーリエ変換の関係関数 $f(t)$...
フーリエ解析・フーリエ変換

フーリエ逆変換とは?|フーリエ逆変換の定義と具体例

今回は、偏微分方程式を解く際に力を発揮するフーリエ逆変換の定義とその具体例について説明します。フーリエ逆変換の定義$f(t)$ を $(-\infty, \infty)$ で定義された関数、$F(w)$ を $f(t)$ のフーリエ変換とす...
フーリエ解析・フーリエ変換

ベッセル関数のフーリエ変換の導出|フーリエ変換の具体例と応用⑥

今回はベッセル関数のフーリエ変換を導きます。ベッセル関数のフーリエ換ベッセル関数 $J_k(t)$ のフーリエ変換は次の様に表せる。\begin{split}\F&=\ff{i^{k}\cos k\left(\q_1-\ff{\pi}{2}...
フーリエ解析・フーリエ変換

矩形関数とsinc関数のフーリエ変換の導出|フーリエ変換の具体例と応用⑤

今回は矩形関数と $\RM{sinc}$ 関数のフーリエ変換を導きます。矩形関数のフーリエ換矩形関数 $\RM{rect}(t)$ のフーリエ変換は次の様に表せる。\begin{split}\F &= \sqrt{\ff{2}{\pi}}\...
フーリエ解析・フーリエ変換

累乗のフーリエ変換の導出|フーリエ変換の具体例と応用④

今回は累乗のフーリエ変換を導きます。累乗のフーリエ換累乗 $t^n$ のフーリエ変換は次の様に表せる。\begin{split}\F&=\sqrt{2\pi}\,i^n\cdot \delta^{(n)}(w)\end{split}ただし、...
フーリエ解析・フーリエ変換

ガウス分布のフーリエ変換の導出|フーリエ変換の具体例と応用③

今回は、ガウス分布(=正規分布)のフーリエ変換を導きます。ガウス分布のフーリエ換ガウス分布 $e^{-at^2}$ のフーリエ変換は次の様に表せる。\begin{split}\F&=\ff{1}{\sqrt{2 a}}e^{-\ff{w^2...
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指数関数と三角関数のフーリエ変換の導出|フーリエ変換の具体例と応用②

今回は指数関数と三角関数のフーリエ変換の導出過程について説明します。まず、指数関数のフーリエ変換の結果は次の様になります。指数関数のフーリエ変換$a$ を実数として指数関数 $e^{-a|t|}$ のフーリエ変換 $\F$ は次の様に表せる...
フーリエ解析・フーリエ変換

ステップ関数とデルタ関数のフーリエ変換の導出|フーリエ変換の具体例と応用①

今回は、ステップ関数(ヘヴィサイドの単位階段関数)とディラックのデルタ関数のフーリエ変換を導きます。ステップ関数とデルタ関数のラプラス変換ステップ関数 $u(t)$ とデルタ関数 $\delta(t)$ のフーリエ変換は次の様に表せる。$$...