フーリエ解析・フーリエ変換

畳み込み積分・合成積のフーリエ変換|フーリエ変換の性質②

今回は畳み込み積分のフーリエ変換について説明します。早速ですが、畳み込み積分のフーリエ変換は以下のような性質を持ちます。畳み込み積分のフーリエ変換$f(t),g(t)$ を $(-\infty,\infty)$ で定義された関数として、各関...
フーリエ解析・フーリエ変換

フーリエ変換の微分法則・積分法則とは?|フーリエ変換の性質①

フーリエ変換による偏微分方程式の解法の準備として、今回はフーリエ変換の微分法則と積分法則について説明します。まず、微分法則は次のように述べられます。フーリエ変換の微分法則$f$ の $n$ 階微分 $f^{(n)}(t)$ が連続であれば$...
フーリエ解析・フーリエ変換

フーリエ変換の基本的な性質|線形則・対称則・相似則・移動則とは?

前回はフーリエ変換の定義について説明しましたが、今回はフーリエ変換の基本的な性質である、線形法則と移動法則について説明します。まず、フーリエ変換は次のような線形法則という性質を持ちます。フーリエ変換の線形法則とは?区分的に連続な関数 $f(...
フーリエ解析・フーリエ変換

フーリエ変換とは?|フーリエ変換の定義と反転公式について

今回は、偏微分方程式を解く際に力を発揮するフーリエ変換について説明します。フーリエ変換の定義$f(t)$ を $(-\infty, \infty)$ で定義された関数とする。このとき、$w$ の関数\begin{eqnarray}\F = ...
フーリエ解析・フーリエ変換

フーリエ積分表示・フーリエ複素積分表示とは?|非周期関数のフーリエ級数展開

フーリエ級数展開を非周期関数に拡張する方法について説明します。具体的には、非周期関数を周期が無限大の関数と見なすことで以下のようなフーリエ積分表示が得られます。フーリエ積分表示とは?$f(x)$ を区分的に連続な関数として、区間 $(-\i...
物理数学

三角関数の無限乗積表示の導出|フーリエ級数展開の具体例⑥

ここまで、三角波のフーリエ級数展開や三次関数のフーリエ級数展開などを求めてきましたが、今回は趣向を変えて、三角関数の無限乗積表示と呼ばれる式をフーリエ級数展開により得る方法を説明します。今回、導出を目指す三角関数の無限乗積表示は以下のように...
フーリエ解析・フーリエ変換

三次関数のフーリエ級数展開の導出|フーリエ級数展開の具体例⑤

放物線のフーリエ級数展開に引き続き、今回は三次関数波のフーリエ級数展開の導出過程について説明します。さて、結論を先に示すと、三次関数のフーリエ級数展開表示は以下のようになります。矩形波のフーリエ級数展開表示周期 $2\pi$ の三次関数 $...
フーリエ解析・フーリエ変換

放物線のフーリエ級数展開の導出|フーリエ級数展開の具体例④

矩形波のフーリエ級数展開に引き続き、今回は放物線のフーリエ級数展開の導出過程について説明します。さて、結論を先に示すと、放物線のフーリエ級数展開表示は以下のようになります。矩形波のフーリエ級数展開表示周期 $2\pi$ の放物線 $f(x)...
フーリエ解析・フーリエ変換

矩形波のフーリエ級数展開の導出|フーリエ級数展開の具体例③

三角波のフーリエ級数展開に引き続き、今回は矩形波のフーリエ級数展開の導出過程について説明します。さて、結論を先に示すと、矩形波のフーリエ級数展開表示は以下のようになります。矩形波のフーリエ級数展開表示周期 $2\pi$ の矩形波 $f(x)...
フーリエ解析・フーリエ変換

のこぎり波のフーリエ級数展開の導出|フーリエ級数展開の具体例②

三角波のフーリエ級数展開に引き続き、今回はのこぎり波のフーリエ級数展開の導出過程について説明します。さて、結論を先に示すと、のこぎり波のフーリエ級数展開表示は以下のようになります。のこぎり波のフーリエ級数展開表示周期 $2\pi$ ののこぎ...