平板と円筒の電場の導出｜ガウスの法則の応用と具体例②

前回、球状の電荷が形成する電場と電位をガウスの法則を用いて計算しました。今回は平板と円筒が形成する電場をガウスの法則より導出することを考えます。

まず、平板の電場については次のように表せます。

この結果は、後にコンデンサーに蓄えられるエネルギーすなわち、静電容量を導出するときに重要な役割を果たします。

まずは、平板の電場が上のように与えられる理由について説明していきます。

無限平板の電場の導出

ここでは無限に広い平板、すなわち無限平板が形成する電場について考えていきます。また、面積当たりの電荷密度を $\sigma$（シグマ）とします。

ここで、無限平板を直交する仮想的な円筒を配置したとします。すると、円筒内に含まれる電気量 $Q$ はこのように与えられます。

\begin{split}
Q=\sigma S
\end{split}

ただし、$S$ は円筒の底面の部分の面積を表すとします。

$S$ を貫く電気力線に注目すると、これらの電気力線は $S$ を常に法線方向(=垂直方向)に貫くことが分かります。(このようになる理由についてはこちらを参照下さい)

電気力線が無限平板の表裏の二方向に伸びていることに注意すると、ガウスの法則より電気力線は $2S$ 分の面を $4\pi kQ$ 本貫くことが言えます。したがって、単位面積当たりの電気力線の本数を次のように求められます。

\begin{split}
\ff{N}{2S}=\ff{4\pi kQ}{2S}=\ff{4\pi k\sigma S}{2S}=\ff{\sigma}{2\eps_0}
\end{split}

なお、$\DL{4\pi k=\ff{1}{\eps_0}}$ という定数を導入しています。（$\eps_0$ は真空の誘電率と一致します）

ここで電場の大きさと電気力線の本数の関係を思い出すと、上式は電場の大きさと一致することが分かります。ゆえに、無限平板の電場の大きさ $E$ は

\begin{split}
E=\ff{N}{2S}=2\pi k\sigma=\ff{\sigma}{2\eps_0}
\end{split}

であることも分かります。

円筒の電場の導出

次に、電線のモデルとして円筒が形成する電場についても計算していきます。

今、単位長さ当たりの電荷密度を $\delta$（デルタ）とすると、長さ $l$ 内に含まれる電気量 $Q$ は

\begin{split}
Q=\delta l
\end{split}

となります。ここで、仮想的な半径 $r$ の円筒を考えると電気力線はこの円筒の側面を常に法線方向を貫くので、先程と同様、ガウスの法則より単位面積当たりにの電気力線の本数が次のように表せます。

したがって、電場の大きさ $E(r)$ も

\begin{split}
E(r)=\ff{\delta}{2\pi r\eps_0}
\end{split}

とできます。

これより、円筒からの距離に逆比例して電場も小さくなることが分かります。