力学の目次｜単純から複雑へ – 高校物理からはじめる工学部の物理学

このページでは力学分野の記事をまとめています。

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高校物理から大学物理へ
力学で使われる数学
力学：力の法則と保存則
静力学：力と釣り合いの関係
動力学：力と運動方程式
1. 天体力学：力と万有引力の法則
連続体の力学
他の分野につながる興味深い問題

高校物理から大学物理へ

位置と速度と加速度と

大学物理を学ぶ前に、力学の基礎となる位置・速度・加速度について改めて整理します。

位置・速度・加速度についての詳しい解説はこちらで解説しています。

高校物理から変わらないこと、変わることに注目し、頭の中を整理しておきましょう。

位置・速度・加速度のベクトル｜高校物理から大学物理へ　【大学物理】【物理基礎】

ベクトルを使った変位・速度・加速度の表現方法を解説します。大学物理と高校物理の大きな違いとして、ベクトルによる表現を本格的に使うようになることが挙げられます。しかも、物理の最も基本的な項目である変位・速度・加速度がベクトルにより表現されるようになるのですから、大学物理の初学者にとっては大きな難所になります。

力学とは？

最初に、力学という学問について整理します。

そもそも力学とはどんな学問なのでしょうか？

以下の記事にて、力学の立ち位置とその哲学について解説しています。

力学とは？｜大学物理に入る前に知っておきたいこと　【力学入門】

大学物理を学習する前に、力学がどんな学問なのかを紹介します。この記事を読むと力学とはどんな学問なのか？何を研究し、目的にしているのかを知ることができます。

また、こちらの記事にて力学から派生する諸分野のつながりと応用例について解説しています。

大学で学ぶ力学とは？｜分野同士の関連と連携

大学で学ぶ力学について概観していきます。この記事では、高校で学習した力学が大学でどのように展開され諸分野の力学につながるのかを紹介します。また、力学の諸分野のつながりを知ることで、効率的な勉強や知識の有効活用ができるようになります。

力学の学問的基礎について

次に、力学の学問的な基礎について深掘りしていきます。

最初に、ベクトルの性質について確認しておきます。

ベクトルの分解や合成についての詳しい解説はこちらで行っています。

力・速度・加速度のベクトル分解｜物理学の大前提【力学入門】

ベクトルとは向きと大きさを持った量です。物理学の世界では、力・速度・加速度・運動量・角運動量等がベクトル量として扱われます。このとき、重要になるのはこれらのベクトル量がベクトル分解できるという大前提です。今回はベクトル分解についての解説を行います。

力学のもう一つの学問的柱は座標系です。

こちらの記事にて、デカルト座標系と極座標系の相互の座標変換について解説しています。

極座標系での速度と加速度の表示｜デカルト座標から極座標への変換

直交座標系またの名をデカルト座標系は馴染み深い座標系ですが、デカルト座標系は万能な座標系ではありません。例えば、回転運動を表現する際には、極座標系と呼ばれる座標系で表現する方が便利なことがあります。今回はデカルト座標での速度と加速度を極座標で表示する方法について解説します。

・次元解析と国際単位系・測定と有効数字

・物理量とギリシャ文字の慣例的対応

・運動の三法則：慣性の法則・運動方程式・作用反作用の法則

力学で使われる数学

時間微分とベクトルの表記法

大学で学ぶ物理学では本格的に微分とベクトルを用います。

頻繁に時間微分とベクトルを用いるため、独特な表記法で時間微分とベクトルを記述することになります。

こちらの記事にて、時間微分とベクトルの表記法について解説しています。

微分演算子とは？

本格的な力学の解析を始める前に、力学で用いる数学的な道具立てについて整理します。

まずは、微分演算子と呼ばれる記号について解説します。

こちらの記事にて、ナブラとラプラシアンについて解説しています。

ナブラ・ラプラシアンとは？｜ベクトルの表記と微分演算子

ここでは、ナブラ・ラプラシアンと呼ばれる微分演算子について解説します。また、微分やベクトルの表記法についても紹介します。ナブラの定義微分演算子$\nabla$（ナブラ）を次のように定義する \begin{eqnarray}\nabla ...

ベクトルの微分と積分/内積と外積

次に、ベクトルの微分と積分の計算方法について解説します。

詳しくは、こちらで解説しています。

ベクトルの微分積分とは？｜定義と計算例　力学入門②

この記事では、ベクトルの微分と積分について解説します。ベクトルの微分の計算例 $\B{A}$をベクトルとして、ベクトルの微分は次のように計算される \begin{eqnarray}\frac{\diff \bold{A}}{\diff u...

さらに、ベクトル計算の基本である、内積と外積の計算方法について解説します。

詳しくは、こちらで解説しています。

ベクトルの内積と外積｜スカラー三重積・ベクトル三重積とは？

速度や加速度は大きさと向きを持つベクトルで表されます。ベクトルの計算に慣れることは力学をマスターする第一歩になります。ベクトルの計算で基礎になるのは内積と外積の計算です。内積と外積の定義と計算方法を解説し、併せてスカラー三重積とベクトル三重積の公式を紹介します。

オイラーの公式とフーリエ級数展開

ベクトルに引き続き、三角関数について解説します。

三角関数はあらゆる場面に登場するため、改めて整理しておきます。

詳しくはこちらで解説しています。

三角比・三角関数/度数法・弧度法とは？三角関数①【力学入門】

三角関数は物理学において、最も重要な数学的道具の一つです。なぜなら、単振動の微分方程式や熱伝導方程式、波動方程式の解として三角関数が表れるためです。物理学に根差す産業に対しても、三角関数は当然強い関わりを持ちます。今回は三角関数の基礎事項を解説します。

次に、三角関数と指数関数を結びつけるオイラーの公式について解説します。

オイラーの公式は微分方程式を解く上で欠かせない存在なため、理解しておきましょう。

詳しくはこちらで解説しています。

オイラーの公式とフーリエ級数展開【力学入門】

三角関数の発展的な内容として、オイラーの公式とフーリエ級数展開について解説します。これらの内容は物理学と密接な関連を持つため、導出過程を把握することは大学物理の学習進める上で大きなアドバンテージになります。

・物理数学への招待　世界を覗くための道具達

・力学入門④　良く使う近似テクニック

力学：力の法則と保存則

活力論争：力とは何か？

活力論争と最小作用の原理　力はどうやって生まれるのだろうか？　

17世紀から18世紀にかけて，物理学者たちは活力論争と呼ばれる論争を繰り広げていました。論争の根幹にあったのは力とは何か？何が力を生み出しているのか？という力学の基礎に対する問いに関わるものでした。活力論争は何を生み出し，力学にどんな影響を与えたのかを見ていきます。

慣性：地球の自転とフーコーの振り子

慣性の法則｜地球の自転とフーコーの振り子【コリオリ力】【力学基礎】

慣性の法則は運動の三法則の中でも第一法則に位置付けられる重要な法則です。今回は慣性の法則と回転座標系で現れるコリオリ力について導出し、回転座標系での不思議な性質について解説します。また、地球が自転していることを証明したフーコーの振り子ついても解説します。

慣性力：遠心力とコリオリ力

遠心力とコリオリ力　慣性系と非慣性系の不思議

高校で遠心力の単元を学んだ時、先生からこんなことを言われませんでしたか？「遠心力は見かけの力です。実在する力では無いので注意するように。」なんて言いながら、先生は向心力を遠心力と等号で結び、平然と釣り合いなり運動方程式を立てて、授業を進めていくのです。一体遠心力とは何なのでしょうか？

静力学と動力学

静力学・動力学とは？｜物体の釣り合い条件・運動方程式【力学基礎】

力学の二大分野である、静力学と動力学について解説します。静力学は力とモーメントが釣り合っているときの物体の状態について解析する力学の分野です。一方の動力学は力・モーメントが作用しているときの物体の運動を解析する力学の分野です。関連して、仮想仕事の原理とダランベールの原理についても解説します。

内力と外力　定義と見分け方：運動の解析のために

内力と外力とは？｜定義と見分け方【力学基礎】

複数の質点や物体をまとめて一つのグループとして扱うときそのグループを質点系と呼びます。質点系内の物体が互いに作用しあう力を内力と呼び、質点系の外部から質点系に作用する力を外力と呼びます。内力は質点系の運動に影響を及ぼさないため、内力と外力の区別をつける力を養うことは重要になります。

モーメントと角運動量：その定義と応用

モーメントと角運動量｜定義と応用【外積が使われる理由】【力学基礎】

モーメントと角運動量について解説します。どちらの物理量も回転に関するものです。モーメントは高校物理でも学びましたが、大学物理では外積を用いて定義します。今回はモーメントが必要になる理由や外積により表される理由について解説します。また、外積により表される角運動量についても解説します。

運動量保存則と角運動量保存則

運動量保存則・角運動量保存則とは？導出と定義【力学基礎】

運動量保存則や角運動量保存則は複雑な力を考えること無く速度を計算できるため非常に有用な法則です。今回は運動量保存則と角運動量保存則の導出とその定義について解説します。これらの保存則は物理学において最も基本的な法則であるため、その成立条件を含めて理解することが重要になります。

運動エネルギーとポテンシャルエネルギー

運動エネルギーとポテンシャルエネルギー｜力学の基礎の基礎　【力学】

力学において最も基礎となる仕事とエネルギーの概念について解説します。仕事とエネルギーの運動方程式との関係を探ることで、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーというより深い概念に到達できます。また、ポテンシャルエネルギーに関連して、保存力と呼ばれる特別な力についても解説します。

保存力・中心力とは？

運動量保存則と力学的エネルギー保存則、角運動量保存則はどう違う？

運動量保存則・力学的エネルギー保存則・角運動量保存則の違いと使い分け【力学基礎】

運動量保存則・力学的エネルギー保存則・角運動量保存則はどう違うのでしょうか？今回はこれらの保存則が成立するための前提条件や、違いについて解説します。今回はこれらの保存則が成立する前提条件を整理し、どんな場面でどんな保存則が適用できるのかを確認します。

撃力と力積：卵はなぜ割れる？

力積・撃力とは？【運動量・運動量保存則】【インパルス関数】

卵を高いところから落下させると、どうなるでしょうか？普通は殻が割れて中身が飛び出るでしょう。なぜ、殻は割れたのでしょうか？卵が割れた理由に深いかかわりが持つのが力積と撃力です。今回は運動方程式から運動量と力積の関係を導きます。

質点と質点系の力学：連続体力学へ

ニュートンの運動法則と質点系の力学｜質点系の力学から連続体力学へ【力学基礎】

質点の力学は高校物理で学びましたが、より踏み込み質点系の力学に進みます。また、質点系の力学を拡張し連続体力学への準備を行います。高校物理から踏み出しいよいよ大学物理の世界に突入していきます。この記事ではニュートンの運動法則と質点系の力学の関係を概観します。

静力学：力と釣り合いの関係

力の釣り合い

滑り摩擦と転がり摩擦：ねじとベアリングの力学

滑り摩擦と転がり摩擦｜ねじとベアリングの力学【力学】

摩擦は物体の運動を妨げる方向に働く力です。そのために厄介者と見なされがちですが、上手く利用すれば非常に有用な応用ができます。その代表例がねじです。ねじにより、接着剤無しに物体を繋げることができます。今回は滑り摩擦と転がり摩擦について解説します。

圧力と浮力：浮力の起源と船舶の安定性

圧力と浮力の関係｜浮力の起源とは？

船や潜水艦など現代ではたくさんの船舶が海を航行しています。これらの船舶は鉄鋼で作られているのになぜ浮かんでいられるのでしょうか？今回は圧力について解説し、浮力と呼ばれる現象を計算により導けることを示します。浮力は船舶の安定性を議論する際も重要になります。

カテナリー曲線の導出

カテナリー曲線の導出と変分法との関係【静力学】【解析力学入門】

カテナリー曲線とは重力が生み出す「形」の一つで放物線のような形状となります。この曲線は自然に吊した状態での力学的に最も安定な形であるため、電線や吊り橋の形状、そして富士山の姿にもカテナリー曲線を見出すことができます。今回は、カテナリー曲線の導出過程と変分法による解法を概観します。

カテナリー曲線の変分法による導出

カテナリー曲線の変分法による導出【ラグランジュの未定乗数法】【変分法】　

変分法によるカテナリー曲線の導出を行います。静力学的による力の釣り合い式からもカテナリー曲線の導出を行えますが、変分法を使うと力を一切考えることなくカテナリー曲線を求めれます。また、オイラー・ラグランジュ方程式とラグランジュの未定乗数法についても解説しています。

最小作用の原理

最速降下曲線と解析力学の幕開け

最速降下曲線の導出と解析力学の幕開け【解析力学】

高低差のある二点間$A, B$をつなげてコースを作ったとします。このコースに沿ってボールを転がしたとき、最も速く$B$点にたどり着くコースはどんな形状でしょうか？このように、高低差のある二点間をつなげたコースの中で最も速くゴールにたど...

動力学：力と運動方程式

運動方程式と微分方程式

重心と重心系の運動

重心と重心系の運動｜理論とその応用【力学】【重心系の力学】

その点の回りでモーメントが釣り合う点を重心と呼びます。全質量が重心に集中していると見なせるため、大きさのある物体を質点に置き換えて考えることができる利点があります。今回は重心の求め方について解説し、併せて重心系と呼ばれる特別な座標系から運動を考えた時の性質について解説します。

放物線運動と運動方程式：モンキーハンティング問題

放物線運動と微分方程式｜モンキーハンティング問題とは？【動力学】　

銃を持ったハンターが木から落ちたサルに弾丸を当てるためにはどのように銃を撃てば良いでしょうか？この問題はモンキーハンティング問題と呼ばれ、興味深い結果が得られます。今回はモンキーハンティング問題を物理学を用いて解析していきます。

ロケット方程式の導出とその解法

ロケット方程式とは？｜ロケット方程式の導出と解法【微分方程式入門①】

微分方程式は大学物理の難所の一つです。今回はロケット方程式を題材に微分方程式の導出と解法を見ていきます。ロケット方程式は単純でありながら、工学的な応用も含めて興味深い内容を含んでいるため微分方程式の導入として紹介します。

振り子の運動方程式の解法：振り子の振動と周期

振り子の周期の微分方程式による導出｜調和振動と振り子の周期

振り子の運動を題材に微分方程式の解法を紹介します。標準的な解法からラプラス変換まで四通りの方法で、微分方程式の解法を紹介します。振り子の微分方程式を解くことで、振り子の周期を数学的に導くことができます。

ばねの運動方程式と減衰振動

ばねの運動方程式と減衰振動｜微分方程式入門③【力学】【機械工学】

微分方程式の入門として減衰振動の運動方程式の解法を解説します。減衰振動は空気抵抗等により徐々に振幅が小さくなる現象のことを言います。減衰振動は振動工学や制御工学と関連を持ち応用上も重要な題材です。また、減衰振動は強制振動を解く上での基礎になります。

強制振動の微分方程式と共振の理論

強制振動の微分方程式｜共振の物理学　微分方程式入門④

強制振動は、周期的な外力により揺さぶられる振動の形態の一種です。今回は強制振動をモデル化した微分方程式の解法について解説し、求めた一般解から強制振動ではどんな現象が生じるのかについて考察します。また、さまざまな分野で重要になる共振の性質についても解説します。

波動方程式とその解法

波動方程式とその解法｜波の速さと固有振動数の導出【力学】

弦の振動は波動方程式により表されます。今回は弦の振動を波動方程式を用いて理論的に解析していきます。波動方程式は偏微分方程式と呼ばれる微分方程式の一種であり、常微分方程式に比べ解くための手間や難易度が一段階上がります。弦の振動の解析を通じフーリエ級数展開やフーリエ変換のおぼろげな輪郭が浮かび上がってきます。

音速の導出

音速の導出と計算｜物理学は現実を計算できるか？【力学】【音波の波動方程式】

音速の導出を物理学に基づき理論的に導出してみましょう。果たして物理学は現実の現象にどこまで迫れるのでしょうか？普段から馴染み深い音について、物理学の視点から切り込んでいきます。果たして、音速を理論的に求めることは可能なのでしょうか？

天体力学：力と万有引力の法則

万有引力の法則とケプラーの三法則の導出

ケプラーの法則とは？｜軌道方程式を利用したケプラーの三法則の証明

高校物理でケプラーの三法則を学習しましたが証明過程を習った記憶はありますか？ケプラーの三法則を証明するには大学での知識が必要なため、証明方法を学ばなかったのです。今回は、軌道方程式の導出過程で得た知識を利用してケプラーの三法則を証明します。

ベルトランの定理：逆二乗の法則の神秘

ベルトランの定理とは？｜万有引力の法則はなぜ逆二乗則か？

万有引力の法則やクローンの法則など、物理学では逆二乗の形で表される法則が多くあります。逆二乗の形になるのは偶然か神様が決めたからなのでしょうか？そんなことは当然あり得ないことで、逆二乗の法則に従う理由をベルトランの定理から数学的に説明することができます。

キャベンディッシュの実験：万有引力定数はいかに測定されたか？

キャベンディッシュの実験とは？｜万有引力定数の測定実験

万有引力定数は最も重要な物理定数の一つです。今回は万有引力定数の測定実験として有名なキャベンディッシュの実験について解説します。材料力学や剛体の力学など、複数の分野にまたがって展開される実験と理論の両方から感動を味わうことができます。

ポテンシャルエネルギーと遠心力の壁

質点近似とは？｜地球を質点と見なすことは正当か？

天体力学への招待

天体力学の目次｜万物はいかなる法則に従って運行しているのか？

万有引力と天体力学万有引力とは？キャベンディッシュの実験：万有引力定数の測定エネルギーと軌道の形状ベルトランの定理：万有引力はなぜ逆二乗となるのか？潮汐力とは？ロシュ限界：隕石はどうして砕ける？ケプラーの法則と超越方程式ケプ...

連続体の力学

剛体の力学

慣性モーメントの定義と計算

慣性モーメントと剛体の運動方程式｜定義と計算例・平行軸の定理【剛体力学】

剛体力学で最も基本的な事項である、慣性モーメントについて解説します。高校物理では物体に大きさが無いと仮定した質点の力学を主に学びましたが、現実の物体には大きさがあるため質点の力学を直接は適用できません。そのため、物体の大きさを考慮した剛体の力学が生まれました。今回は、剛体力学で最も基本的な事項となる慣性モーメントについて解説します。

慣性モーメントの導出とオイラーの運動方程式

慣性モーメントの導出とオイラーの運動方程式｜慣性行列とは？

角運動量を利用して慣性モーメントの導出を行います。角運動量から、慣性モーメントを一般化した慣性行列を見出すことができます。この慣性行列から、主慣性モーメントを計算でき、ここからオイラーの運動方程式を導出することができます。オイラーの運動方程式は、地球の歳差運動を説明する際に重要な役割を果たします。

剛体の運動方程式

歳差運動と章動｜回転するコマはなぜ倒れない？

歳差運動と章動｜回転するコマはなぜ倒れない？【力学】【角運動量保存則】

回転するコマは回転軸を傾けても転倒せず、回転軸が一定の角速度で鉛直軸周りに回転します。この回転運動のことを歳差運動と呼びます。コマが倒れず歳差運動を行う理由を角運動量保存則に基づき物理的に説明します。また、章動と呼ばれる運動についても解析を行います。

剛体振り子

材料力学｜弾性体の力学

応力とひずみ

応力・ひずみとは？｜物体に作用する力と変形はどう表せるか？【材料力学】

剛体力学では、物体を変形しないものと考えました。しかし、現実の物体は力が働けば変形します。材料力学は剛体力学では扱えなかった力と物体の変形を考える学問です。今回は、材料力学の学習の第一歩として、応力とひずみという概念を解説します。

フックの法則：応力とひずみの関係

フックの法則とは？｜応力とひずみにはどんな関係がある？

材料力学で重要な法則である応力とひずみの関係を表すフックの法則について解説します。応力とひずみを結びつけるフックの法則を使うことで、部材の変形量を計算できるようになります。いよいよ力学が実用を目的とした現実の問題と深く関わってきます。

宇宙エレベータの理論とケーブルに働く応力

宇宙エレベータの理論｜ケーブルに働く応力の計算【材料力学】【天体力学】

宇宙エレベータは地上から静止軌道までを一本のケーブルで結んだ壮大な建造物です。まるで夢物語のような存在ですが、空想上の存在でも物理学であれば検討することができます。今回は宇宙エレベータの理論と、そのケーブルに働く応力を計算してみましょう。

弾性体の釣り合い方程式：ナビエの方程式

材料力学への招待

材料力学の目次｜材料の変形と破損の理論

材料力学は材料にある力（応力）が働いたとき、どれだけ材料が伸びたり曲がったりするのかを研究する学問分野です。材料力学で分析の対象となるのは金属のような固体（弾性体）です。主な内容として梁の曲げや棒の圧縮・引張・ねじり、熱応力、応力分布な...

流体力学｜流体の力学

流体とは？

流体・流体力学とは？｜流体力学の第一歩【流体と流体力学】

流体とはそもそもどんな性質を持つ物体なのでしょうか？流体力学は流体の運動について研究する学問です。今回は流体力学も最も基礎的な概念である流体についての定義とその性質について解説します。また、粘度と動粘度についても解説します。

ベルヌーイの定理

ベルヌーイの定理｜理論と導出【流体力学のエネルギー保存則】

流体力学も物理学の一分野であるためエネルギー保存則も当然成立します。そして、完全流体に対して成立するエネルギー保存則はベルヌーイの定理と呼ばれます。今回はベルヌーイの定理の導出過程とその理論について解説します。

サイフォンの原理

ダランベールのパラドックス

ダランベールのパラドックスとは？｜理想流体の不思議な性質

一様に流れる理想流体中に物体を置いたとき、その物体は流体から力を受けないという理論的な帰結を『ダランベールのパラドックス』といいます。パラドックスと呼ばれる理由は、物体が流体から抵抗力を受けるという経験的事実と反するためです。ダランベール...

層流と乱流

層流と乱流｜レイノルズ数とは？【バッキンガムのπ定理】【流体力学】

流れには層流と乱流の二つの状態が存在します。層流と乱流では流れの状態が完全に異なるため物理学的にも数学的にも興味深い対象となります。今回は、層流と乱流に加えて、それに関わるレイノルズ数やバッキンガムのπ定理についても解説します。

グレイのパラドックス

流体力学への招待

流体力学の目次｜流体の物理的性質とその理論

流体力学とは、静止状態や運動状態での流体の性質、また流体中での物体の運動を研究する、力学の一分です。材料力学とは異なり、流体力学で分析の対象となるのは、水や空気のような液体や気体です。流体力学は、航空宇宙産業を始め、あらゆる分野で関わり...

他の分野につながる興味深い問題

光学と変分法：神は倹約家？
スパーボールはどうして高く跳ね返る？
ミリカンの実験
オルバースのパラドックス
ゼーリガーのパラドックス
圧力勾配と万有引力のアナロジー
オストログラドツキーの定理
三体問題と固有値：三体問題はなぜ解けない？

三体問題はどうして解けないのか？三体問題と固有値　

三つの天体が万有引力によって引かれて運動するとき、これらの天体はどんな軌道を描くのだろうか？数多の天才たちがその問題に挑んだが、ついぞ一般解を求められた者はいなかった。どうして、三体問題は解くことができないのだろうか？

心臓の鼓動はなぜ周期的なのか？