運動量保存則と角運動量保存則は次のように述べられます。
系に外力が働かないとき、運動量は時間に依らず一定となる。
中心力の作用のみを受けて運動する系では角運動量は時間に依らず一定となる。
運動量保存則や角運動量保存則は複雑な力を考えること無く、速度を計算できるため非常に有用な法則です。
今回は、運動量保存則ならびに角運動量保存則を運動方程式から導出する過程について解説します。
運動方程式と運動量
運動量を考える前に運動方程式について復習しましょう。
運動方程式はニュートンの第二法則から導かれる基礎方程式でした。
物体の運動量の変化は、これに働く力の向きに起こり、またその力の大きさに比例する。すなわち、力を$\B{F}$、運動量を$\B{p}$として、運動方程式は次のように表される。
\begin{split}
\B{F} &= \ff{\diff \B{p}}{\diff t} \\
\,
\end{split}
なお、第二法則は運動の法則とも呼ばれます。
ところで$\B{F}$の力が質量$m$の物体に働いているとき、力が働く方向に$\B{a}$の加速度が働きます。
これを式で表すと、
\begin{split}
\B{F} &= m\B{a} = m\ff{\diff \B{v}}{\diff t}
\end{split}
となります。ただし、速度を$\B{v}$とします。
高校物理ではこの式を運動方程式として習いましたが、例えば、自動車はガソリンを消費して走行するため、時々刻々と質量が変化しますし、ロケットも同様に質量が変化します。
この場合、質量は時間により変化するため、$\B{F} = m(t)\B{a}$と表すことになります。
したがって、運動方程式を微分方程式として正確に表現すると、
\begin{split}
\B{F} &= \ff{\diff }{\diff t}( m\B{v} )
\end{split}
とできます。
質量と速度の積が運動方程式の中で重要な働きをするため、この積に運動量という名前を付けることにします。
質量を$m$、速度を$\B{v}$として運動量$\B{p}$は次のように表される。
\begin{split}
\B{p} &= m\B{v} \\
\,
\end{split}
運動量を$\B{p}$として、運動方程式を書き換えると次式のように簡単にできます。
\begin{split}
\B{F} &= \ff{\diff \B{p}}{\diff t}
\end{split}
このように、運動の法則をより一般的に表現するために運動量が用いられます。
運動量により運動方程式を一般化することで、あらゆる運動に対して適用できる強力な道具となります。
大学以降の物理学ではこの運動方程式も用いられます。（→ロケット方程式での運動量の応用）
力はベクトル量であるため、運動方程式はベクトルを含んだ式になります。
なお、ベクトルを太字で表すと約束します。詳しくはベクトルの記法・記号の意味の記事を確認してください。
運動量とは？
運動方程式において、運動量なるものを定義しました。
この運動量について詳しく考えていきましょう。
運動量とは、「質量」×「速度」で表されるベクトル量です。
質量自体はスカラー量ですが、速度はベクトル量なので、その積である運動量もベクトル量になるのです。
質量を$m$、速度を$\B{v}$として運動量$\B{p}$は次のように表される。
\begin{split}
\B{p} &= m\B{v} \\
\,
\end{split}
運動量は質量と速度の積であり、速度が大きくなるほど運動量が大きくなることから、運動の勢いを表す物理量と言えます。
また、運動方程式から分かるように力のベクトルと運動量のベクトルは方向が一致します。
もちろん、運動量はベクトルであるため、ベクトルの合成や分解ができます。
問題によっては、運動量をベクトル分解して考えることもあります。
運動量保存則
ここで、運動方程式を時間に関して積分してみましょう。
具体的には運動方程式の両辺を$t_0$から$t_1$までの時刻で積分すると、
$$
\begin{eqnarray}
\int_{t_0}^{t_1}\B{F} \,\diff t &=& \int_{t_0}^{t_1} \ff{\diff \B{p}}{\diff t}\diff t \EE
&=& \B{p}(t_1) \,- \B{p}(t_2) \EE
&=& \D \B{p}
\end{eqnarray}
\tag{1}
$$
となります。
これより、運動量の時間変化$\D\B{p}$は、力を時間に関して積分することで表されることが分かります。
運動量の時間変化$\D \B{p}$は次のように計算できる。
\begin{split}
\int_{t_0}^{t_1}\B{F} \,\diff t &=& \D \B{p} \\
\,
\end{split}
また、時間と力の積が運動量の時間変化と結びつくため、左辺の積分に力積という特別な名前を付けることにします。（→運動量と力積の関係とは？）
さて、式(1)に関して$\B{F}=0$とすると左辺は$\B{0}$となるため、
\begin{eqnarray}
\B{p}(t_1) &=& \B{p}(t_2) \EE
\end{eqnarray}
となります。
つまり、時刻に依らず運動量に変化が無いことが分かります。
言い換えると、運動量は時間に依らず保存されると考えることができるため、運動量保存則と呼ぶことができます。
運動量保存則は次のように記述することができます。
系に外力が働かないとき、運動量は時間に依らず一定となる。
ここでいう外力とは、系の外部から加えられる力のことです。
外力と対を成す概念が内力です。
外力と内力に関する詳細な解説は以下の記事で詳しく解説しています。
質点系と運動量保存則
質点系に運動量保存則適用すると、より面白い結果を導くことができます。（→質点と質点系）
まず、二個の物体$A, B$が互いに力を及ぼし合っている状況を考えます。
物体$A$が物体$B$に及ぼす力を$F_{BA}$、物体$B$が物体$A$に及ぼす力を$F_{AB}$とすると、それぞれの物体の運動方程式は次のようになります。
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
\B{F}_{BA} &=& m_A\ff{\diff \B{v}_A}{\diff t} \EE
\B{F}_{AB} &=& m_B\ff{\diff \B{v}_B}{\diff t} \EE
\end{eqnarray}
\right.
$$
今、物体$A$の質量を$m_A$、物体$B$の質量を$m_B$とし、それぞれの速度を$\B{v}_A$、$\B{v}_B$とします。
これらの辺々を足し合わせると、
\begin{eqnarray}
\B{F}_{BA}+\B{F}_{AB} &=& \ff{\diff}{\diff t}(m_A \B{v}_A + m_B \B{v}_B)
\end{eqnarray}
となります。
さて、作用反作用の法則より$\B{F}_{BA}=\B{F}_{AB}$となるので、$\B{F}_{BA}+\B{F}_{AB}=\B{0}$となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff}{\diff t}(m_A \B{v}_A + m_B \B{v}_B) = \B{0}
\end{eqnarray}
であり、両辺を積分すると、
\begin{eqnarray}
m_A \B{v}_A + m_B \B{v}_B = \B{P} = const.
\end{eqnarray}
であることが導けます。
これより、互いに力を及ぼし合うが、外力は働かない二物体の運動量の和は時間に依らず一定であることが分かります。
つまり、外力が働かない場合、二物体の運動でも運動量保存則が成立することがわかります。
衝突の瞬間など、力の向きや大きさが時々刻々と変化するような場合には、運動方程式を解こうとしても力の大きさが未知であるため、解くことが困難なときがあります。
しかし、運動量保存則は衝突の前後でも成立するため、これを利用して問題を解くことができます。
運動量保存則を利用する問題の代表例として、ロケット方程式の導出や気体分子運動論があります。
二物体でも運動量保存則が成立することが分かったので、三個以上の質点の集団でも運動量保存則が成立するかを検討しましょう。
$n$個の物体同士に次のように力が働いているとき、運動方程式は次のように表せます。
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
m_1\ff{\diff \B{v}_1}{\diff t} &=& \B{F}_{12}+\B{F}_{13}+\cdots+\B{F}_{1n} \EE
m_2\ff{\diff \B{v}_2}{\diff t} &=& \B{F}_{21}+\B{F}_{23}+\cdots+\B{F}_{2n} \EE
&\vdots& \EE
m_n\ff{\diff \B{v}_n}{\diff t} &=& \B{F}_{n1}+\B{F}_{n2}+\cdots+\B{F}_{n(n-1)} \EE
\end{eqnarray}
\right.
$$
今、作用反作用の法則より、$F_{lm} = F_{ml}$の関係があるため、上式の辺々を足し合わせると、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff}{\diff t}(m_1 \B{v}_1+m_2 \B{v}_2+m_3 \B{v}_3+\cdots+m_n \B{v}_n) &=& \B{0} \EE
\end{eqnarray}
となって、右辺は$\B{0}$となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\sum_{i=1}^{m}m_i \B{v}_i = \B{P} =const.
\end{eqnarray}
となり、一般の場合でも外力が働かない場合、運動量保存則が成立することが分かります。
これより、運動量保存則が幅広く応用ができる
回転運動と運動方程式
回転運動に関しての運動方程式を考えてみましょう。
半径$r$の円周上を質量$m$の物体が、速さ$v=r\omega$で運動している状況を考えます。
運動量$p$の大きさは、
\begin{eqnarray}
p &=& mv \EE
&=& mr\omega
\end{eqnarray}
と計算できます。
向心力を$F$として運動方程式に代入すると、
\begin{eqnarray}
F &=& m\ff{\diff (r\omega)}{\diff t}
\end{eqnarray}
とできます。（$v=r\omega$のため）
今後の展開を見据え、上の運動方程式をベクトルによって表すことを考えます。
とりあえず、直感的にベクトルにして表すと、
\begin{eqnarray}
\B{F} &=& m\ff{\diff (\B{r}\B{\omega})}{\diff t} \, ?
\end{eqnarray}
とはなりますが、$\B{r\omega}$はベクトルではないため、この運動方程式は正しくありません。
目標として、下のような形を目指したい訳です。
\begin{eqnarray}
\B{F} &=& m\ff{\diff \B{v}}{\diff t}
\end{eqnarray}
さて、速度$\B{v}$は動径ベクトル$\B{r}$と角速度$\B{\omega}$を使うと、$\B{v} = \B{r}\times\B{\omega}$と、表せることが知られています。
つまり、目標の形は
\begin{eqnarray}
\B{F} &=& m\ff{\diff \B{v}}{\diff t} \EE
&=& m\ff{\diff (\B{r}\times\B{\omega})}{\diff t}
\end{eqnarray}
となるわけです。
角運動量ベクトル$\B{\omega}$は動径$\B{r}$と速度$\B{v}$と図のような幾何学的関係があります。
図から分かるように、速度ベクトルは動径ベクトル、角速度ベクトルと直交関係にあるため、$\B{v} = \B{r}\times\B{\omega}$となるのです。
ただ、$\B{\omega}$が微分の中身にあると考えづらいので、どうにか$\DL{\ff{\diff^2 \B{r}}{\diff t^2}}$の形に持ち込むことが最終的な目的になります。
このとき、鍵となるのが角運動量です。
角運動量を利用して回転運動の運動方程式を導出しましょう。
角運動量とは？
まず、質量$m$の質点が力$\B{F}$により運動している状況を考えます。
この運動方程式を立てると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\B{F} &=& m\ff{\diff^2{\B{r}}}{\diff t^2} \EE
\end{eqnarray}
さて、両辺に$\B{r}$の外積を掛け、微分の公式を用いて整理すると次のようにできます。
\begin{eqnarray}
\B{r}\times \B{F} &=& \B{r}\times m\ff{\diff^2{\B{r}}}{\diff t^2} \EE
&=& m\left( \ff{\diff \B{r}}{\diff t} \times \ff{\diff \B{r}}{\diff t} + \B{r}\times \ff{\diff^2 \B{r}}{\diff t^2} \right) \EE
&=& m\ff{\diff }{\diff t}\left( \B{0} + \B{r}\times \ff{\diff \B{r}}{\diff t} \right) \EE
\therefore\,\,\B{r}\times \B{F} &=& \ff{\diff }{\diff t}\left( \B{r}\times m\B{v} \right) \tag{2} \EE
\end{eqnarray}
ここで、角運動量$\B{L}$を次のように定義します。
質量を$m$、速度を$\B{v}$、動径ベクトルを$\B{r}$として角運動量$\B{L}$を次のように定義する。
\begin{eqnarray}
\B{L} &=& \B{r}\times m \B{v} \EE
&=& \B{r}\times m(\B{r}\times\B{\omega}) \EE
\,
\end{eqnarray}
角運動量保存則
角運動量の定義より、式(2)は次のように表せます。
\begin{eqnarray}
\B{r}\times \B{F} &=& \ff{\diff }{\diff t}\left( \B{r}\times m\B{v} \right) \EE
&=& \ff{\diff \B{L}}{\diff t} \tag{3} \EE
\end{eqnarray}
さて、動径$\B{r}$と$\B{F}$の外積はモーメントを表します。
ここで、モーメントを$\B{N}$とすると式(3)は、
\begin{eqnarray}
\B{N} &=& \B{r}\times \B{F} = \ff{\diff \B{L}}{\diff t} \tag{4}\EE
\end{eqnarray}
となります。
つまり、『角運動量の時間変化率は質点に加わるモーメントの大きさに等しい』ことが分かります。
モーメントを$\B{N}$、角運動量を$\B{L}$として次の関係が成立する。
\begin{eqnarray}
\B{N} &=& \ff{\diff \B{L}}{\diff t} \\
\end{eqnarray}
角運動量の時間変化率は質点に加わるモーメントの大きさに等しい
この関係式は回転運動に関連して重要な役割を果たします。
ところで、力$\B{F}$は動径と平行な方向と垂直な方向に分解することができて、それぞれを$\B{F}_r, \B{F}_{\theta}$とすると、式(3)は、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff \B{L}}{\diff t} &=& \B{r}\times(\B{F}_r + \B{F}_{\theta}) \EE
\end{eqnarray}
と変形できます。
外積の性質から動径と垂直な方向の力のみが残るため、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff \B{L}}{\diff t} &=& \B{r}\times\B{F}_{\theta} \EE
\end{eqnarray}
となります。
質点が中心力のみによって運動しているとき、すなわち、$\B{F}_{\theta}=\B{0}$であるとき$\B{N}=\B{0}$となるので、式(4)は、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff \B{L}}{\diff t} &=& \B{r}\times\B{0} = \B{0} \EE
\therefore\,\, \B{L} &=& const.
\end{eqnarray}
となります。
$\B{L}$が定ベクトルになることから、中心力の作用を受けて運動する質点では、角運動量ベクトルの向きも大きさも変化しないことが分かります。
角運動量が時間により変化せず一定であることから角運動量保存則と呼ぶことができます。
中心力の作用のみを受けて運動する系では角運動量は時間に依らず一定となる。
角運動量保存則で重要な点は、中心力の作用のみを受ける系で成立するという点です。
惑星の運動などは中心力の作用のみを受ける系になります。
そのため、天体力学などでは有用な法則として用いられます。
回転運動の運動方程式
質点をある軸回りで回転させた場合の角運動量を計算しましょう。
簡単のため、$z$軸回りで質点を回転させたときの角運動量を計算します。
また、$\B{r}\perp \B{v}$であるとします。
$z$軸回りの角運動量を$\B{l}_z$とすると、その大きさ$|\B{l}_z|$は、
\begin{eqnarray}
|\B{l}_z| &=& |\B{r}\times \D{m} \B{v}| \EE
&=& \D{m}|\B{r}\times \B{v}| \EE
&=& \D{m}rv\sin 90^{\circ} \EE
&=& \D{m}r^2\omega \tag{5}
\end{eqnarray}
と計算できます。
位置$\B{r}$での密度を$\rho(\B{r})$とすると、式(5)と図より、
\begin{eqnarray}
|\B{l}_z| &=& \D{m}r^2\omega \EE
&=& \left(\rho(\B{r})\D{x}\D{y}\D{z}\right)r^2\omega \EE
\end{eqnarray}
とできます。
さらに、$|\B{r}|=\sqrt{x^2+y^2}$であるので、
\begin{eqnarray}
|\B{l}_z| &=& \rho(\B{r})(x^2+y^2)\omega\,\D{x}\D{y}\D{z} \EE
\end{eqnarray}
となります。
質点の集合が剛体であるため、この結果を足し合わせることで剛体全体の角運動量が求められます。
したがって、剛体全体の（$z$軸回りの）角運動量は、
\begin{eqnarray}
|\B{L}_z| = \sum|\B{l}_{z}| &=& \omega\sum\Big(\rho(\B{r})(x^2+y^2)\,\D{x}\D{y}\D{z}\Big) \EE
\end{eqnarray}
となり、極限を考えると次のような積分の形で表せます。
\begin{eqnarray}
|\B{L}_z| &=& \omega\iiint\rho(\B{r})(x^2+y^2)\,\diff x \diff y \diff z \EE
\end{eqnarray}
ここで$\DL{I_{zz}=\iiint\rho(\B{r})(x^2+y^2)\,\diff x \diff y \diff z}$とすると、
\begin{eqnarray}
|\B{L}_z| &=& \omega I_{zz}
\end{eqnarray}
と簡単にできます。
$I_{zz}$を慣性モーメントと呼び、ここでは$z$軸回りの慣性モーメントとなります。
この結果をモーメントと角運動量の関係式に代入すると、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff L_z}{\diff t} &=& \dot{\omega} I_{zz}
\end{eqnarray}
となり、角運動量の時間変化はモーメントの大きさと一致するため、
\begin{eqnarray}
N &=& \dot{\omega} I_{zz}
\end{eqnarray}
となります。
剛体に働くモーメントの大きさを$N$、角速度を$\omega$、回転軸回りの慣性モーメントの大きさを$I$とすると次のような関係式が成立する。
\begin{eqnarray}
N &=& I \dot{\omega} \\
\,
\end{eqnarray}
| 力 $\B{F}$ | モーメント $N$ |
| 質量 $m$ | 慣性モーメント $I$ |
| 加速度 $\B{a}$ | 角加速度 $\dot{\B{\omega}}$ |
$F=ma$と比較すると、モーメントが力、慣性モーメントが質量、角速度の時間微分（＝角加速度）が加速度に相当する物理量になっていることが分かります。
慣性モーメントに関しての詳細は以下の記事で詳しく解説しています。
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