慣性モーメントとは、物体の回転させづらさを表す物理量です。
この記事では、慣性モーメントの導出過程を解説します。
慣性モーメントの使い方は以下の記事で解説しているので、参考にしてください。
また、慣性行列やオイラーの運動方程式といった話題にも触れます。
※ベクトルや時間微分の表記についてはこちらで解説しています。
剛体とは？
慣性モーメントの導出を行う前に、剛体について解説します。
剛体の定義
剛体とは、『力が働いても変形しない物体』です。
剛体は現実には存在しない仮想的な物体ですが、物体を点と見なす質点の力学に比べると、より現実に近い設定となります。
剛体を質点の集合と考えると、剛体内の各質点の相対的な位置関係・距離が変化しない物体とも表現できます。
剛体の独立な座標
さて、質点の空間内の位置は3つの数の組（＝座標）で指定できます。
剛体が$N$個の質点から成っているとき、$3N$個の数の組を指定すれば剛体の位置を完全に決定できます。
しかし、剛体の移動を考えるとき$3N$個の式を計算するのはかなり面倒です。
剛体の性質を利用し、剛体の位置を決定するための数の組を減らすことを考えます。
ところで、第$i$番目の質点から第$j$番目の質点へのベクトルを$\B{r}_{ij}$と表します。
剛体内の各質点間の距離は変化しないため、$|\B{r}_{ij}|$は一定となります。
$c_{ij}$を定数とすると、
\begin{eqnarray}
|\B{r}_{ij}| = c_{ij}
\end{eqnarray}
と表せます。
第$j$番目の質点の位置は、$j$番目以外の全ての質点からの距離を指定することで決まる訳です。
ですが、こんな面倒な方法で質点の位置を指定する必要な無いのです。
実は、一直線上に無い任意の三個の質点からの距離が決まれば、その他の全ての質点の位置が決められるのです。
つまり、三個の質点の位置が定まると残り全ての質点の位置が決まるのです。
三個の質点は、合計9つの数の組で表せるので、剛体も最大9つの数字の組で位置を完全に指定できることが分かります。
さらに深く考えてみましょう。３個の質点の間の距離も定数なので、
\begin{eqnarray}
|\B{r}_{12}| = c_{12}, \,\,\, |\B{r}_{13}| = c_{13}, \,\,\, |\B{r}_{23}| = c_{23}
\end{eqnarray}
と表せます。これを利用すると、さらに数の組を減らせます。
一つ目の質点の座標は3つの数の組で表せます。二つ目の質点の座標は一つ目の座標から等距離のどこかにあるので、球面上を動くことになります。
そのため、二つ座標を決めればもう一つの座標は自動的に決まります。
三つ目の質点の座標は、二つの球が重なる円上を動くため一つの座標を決めれば位置が確定します。
結果的に、６つの数の組を決めれば剛体の位置を完全に決定できるのです。
剛体のオイラーの定理・Chaslesの定理
『剛体のある一点を固定し、その点回りで回転させると回転の方法が少なくとも一つ見いだせる』という定理があります。この定理を剛体のオイラーの定理と言います。
オイラーの定理での剛体の固定点の拘束を外すと、自由に運動できますが、移動した剛体はオイラーの定理から回転運動を分離できます。
残りの運動は、物体の向きが変わらず動く並進運動となります。
つまり、『剛体の運動は回転運動と並進運動に分離できる』ということです。
この定理をChaslesの定理といいます。
回転運動と運動方程式
Chaslesの定理から、剛体の運動は並進運動と回転運動に分離できることが分かっています。
並進運動はおなじみの運動方程式から計算できます。
\begin{eqnarray}
\B{F} = m\ff{\diff^2 \B{r}}{\diff t^2} = m\ff{\diff \B{v}}{\diff t} = \ff{\diff \B{p}}{\diff t} \EE
\,
\end{eqnarray}
しかし、回転運動に関してはどんな式で表せるのかについては習いませんでした。
ということで、回転運動の運動方程式について考えていきましょう。
半径$r$の円周上を質量$m$の物体が、速度$v=r\omega$で運動している状況を考えます。
運動量$p$の大きさは、
\begin{eqnarray}
p &=& mv \EE
&=& mr\omega
\end{eqnarray}
と計算できます。
向心力を$F$として運動方程式に代入すると、
\begin{eqnarray}
F &=& \ff{\diff(mr\omega)}{\diff t} \EE
&=& m\ff{\diff (r\omega)}{\diff t}
\end{eqnarray}
とできます。（$m$は定数のため、二行目のように変形できます。）
今後の展開を見据え、上の運動方程式をベクトルによって表すことを考えます。
とりあえず、直感的にベクトルにして表すと、
\begin{eqnarray}
\B{F} &=& m\ff{\diff (\B{r}\B{\omega})}{\diff t} \, ?
\end{eqnarray}
とはなりますが、$\B{r\omega}$はベクトルではないため、この運動方程式は正しくありません。
ではどうすれば良いでしょうか？
目標として、下のような形を目指したい訳です。
\begin{eqnarray}
\B{F} &=& m\ff{\diff \B{v}}{\diff t}
\end{eqnarray}
さて、速度$\B{v}$は動径ベクトル$\B{r}$と角速度$\B{\omega}$を使うと、$\B{v} = \B{r}\times\B{\omega}$と表せることが知られています。
つまり、目標の形は
\begin{eqnarray}
\B{F} &=& m\ff{\diff \B{v}}{\diff t} \EE
&=& m\ff{\diff (\B{r}\times\B{\omega})}{\diff t}
\end{eqnarray}
となるわけです。
角運動量ベクトル$\B{\omega}$は動径$\B{r}$と速度$\B{v}$と図のような幾何学的関係があります。
図から分かるように、速度ベクトルは動径ベクトル、角速度ベクトルと直交関係にあるため、$\B{v} = \B{r}\times\B{\omega}$となるのです。
ただ、$\B{\omega}$が微分の中身にあると考えづらいので、どうにか$\DL{\ff{\diff^2 \B{r}}{\diff t^2}}$の形に持ち込むことが最終的な目的になります。
鍵となるのは、角運動量です。
角運動量を利用して回転運動の運動方程式を導出しましょう。
回転運動の運動方程式
角運動量を利用し、回転運動に関する運動方程式を導きましょう。
そして、回転運動の運動方程式から慣性モーメントを理解できます。
角運動量保存則
角運動量保存則の解説から始めます。
まず、質量$m$の質点が力$\B{F}$により運動している状況を考えます。
運動方程式を立てると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\B{F} &=& m\ff{\diff^2{\B{r}}}{\diff t^2} \EE
\end{eqnarray}
両辺に$\B{r}$の外積を掛け、微分の公式から次のように変形できます。
\begin{eqnarray}
\B{r}\times \B{F} &=& \B{r}\times m\ff{\diff^2{\B{r}}}{\diff t^2} \EE
&=& m\left( \ff{\diff \B{r}}{\diff t} \times \ff{\diff \B{r}}{\diff t} + \B{r}\times \ff{\diff^2 \B{r}}{\diff t^2} \right) \EE
&=& m\ff{\diff }{\diff t}\left( \B{0} + \B{r}\times \ff{\diff \B{r}}{\diff t} \right) \EE
\therefore\,\,\B{r}\times \B{F} &=& \ff{\diff }{\diff t}\left( \B{r}\times m\B{v} \right) \tag{1} \EE
\end{eqnarray}
ここで、角運動量$\B{L}$を次のように定義します。ただし、$\B{v}$は速度、$\B{p}$は運動量を表します。
質量を$m$、速度を$\B{r}$、動径ベクトルを$\B{r}$として角運動量$\B{L}$は次のように定義される。
\begin{eqnarray}
\B{L} &=& \B{r}\times m \B{v} \EE
&=& \B{r}\times m(\B{r}\times\B{\omega}) \EE
\,
\end{eqnarray}
角運動量の定義より、式(1)は次のように表せます。
\begin{eqnarray}
\B{r}\times \B{F} &=& \ff{\diff }{\diff t}\left( \B{r}\times m\B{v} \right) \EE
&=& \ff{\diff \B{L}}{\diff t} \tag{2} \EE
\end{eqnarray}
さて、動径$\B{r}$と$\B{F}$の外積はモーメントを表します。（→モーメントの定義とその数学）
そこで、モーメントを$\B{N}$とすると式(2)は、
\begin{eqnarray}
\B{N} &=& \B{r}\times \B{F} = \ff{\diff \B{L}}{\diff t} \tag{3}\EE
\end{eqnarray}
となります。
つまり、『角運動量の時間変化率は質点に加わるモーメントの大きさに等しい』ことが分かります。
モーメントを$\B{N}$、角運動量を$\B{L}$として次の関係が成立する。
\begin{eqnarray}
\B{N} &=& \ff{\diff \B{L}}{\diff t} \\
\,
\end{eqnarray}
この関係式は回転運動に関して常に成立するため、回転運動の運動方程式とも呼ばれます。
ところで、力$\B{F}$は動径と平行な方向と垂直な方向に分解することができて、それぞれを$\B{F}_r, \B{F}_{\theta}$とすると、式(2)は、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff \B{L}}{\diff t} &=& \B{r}\times(\B{F}_r + \B{F}_{\theta}) \EE
\end{eqnarray}
と変形できます。
外積の性質から動径と垂直な方向の力のみが残るため、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff \B{L}}{\diff t} &=& \B{r}\times\B{F}_{\theta} \EE
\end{eqnarray}
となります。
質点が中心力のみによって運動しているとき、すなわち、$\B{F}_{\theta}=\B{0}$であるとき$\B{N}=\B{0}$となるので、式(3)は、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff \B{L}}{\diff t} &=& \B{r}\times\B{0} = \B{0} \EE
\therefore\,\, \B{L} &=& const.
\end{eqnarray}
となります。
$\B{L}$が定ベクトルになることから、中心力の作用を受けて運動する質点では、角運動量ベクトルの向きも大きさも変化しないことが分かります。
角運動量が時間により変化せず一定であることから角運動量保存則と呼びます。
中心力の作用のみを受けて運動する系では角運動量保存則が時間に依らず変化しない。
動径方向と平行な力$\B{F}_r$は回転運動に寄与せず、並進運動のみに寄与します。
回転運動には$\B{F}_r$のみが関与するので、回転運動を考える場合は角運動量を考えれば良さそうです。
この考えに従って、質点をある軸回りで回転させたときの角運動量を計算してみましょう。
慣性モーメントの導出
質点をある軸回りで回転させた場合の角運動量を計算します。
簡単のため、$z$軸回りに質点を回転させた場合の角運動量の大きさを計算します。
さらに、$\B{r}\perp \B{v}$の場合を考えます。
\begin{eqnarray}
|\B{l}_z| &=& |\B{r}\times \D{m} \B{v}| \EE
&=& \D{m}|\B{r}\times \B{v}| \EE
&=& \D{m}rv\sin 90^{\circ} \EE
&=& \D{m}r^2\omega \tag{4}
\end{eqnarray}
位置$\B{r}$での密度を$\rho(\B{r})$とすると、式(4)は、
\begin{eqnarray}
|\B{l}_z| &=& \D{m}r^2\omega \EE
&=& \left(\rho(\B{r})\D{x}\D{y}\D{z}\right)r^2\omega \EE
\end{eqnarray}
となります。さらに、$r=\sqrt{x^2+y^2}$であるので、
\begin{eqnarray}
|\B{l}_z| &=& \rho(\B{r})(x^2+y^2)\omega\,\D{x}\D{y}\D{z} \EE
\end{eqnarray}
となります。
したがって、剛体全体の（z軸回りの）角運動量は、
\begin{eqnarray}
|\B{L}_z| = \sum|\B{l}_{z}| &=& \omega\sum\Big(\rho(\B{r})(x^2+y^2)\,\D{x}\D{y}\D{z}\Big) \EE
\end{eqnarray}
となり、極限を考えると次のように積分の形で表せます。
\begin{eqnarray}
|\B{L}_z| &=& \omega\iiint\rho(\B{r})(x^2+y^2)\,\diff x \diff y \diff z \EE
L_z &=& \omega \, I_{zz}
\end{eqnarray}
ここで、$\DL{\iiint\rho(\B{r})(x^2+y^2)\,\diff x \diff y \diff z}$を$z$軸回りの慣性モーメントと呼び、$I_{zz}$で表すと、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff L_z}{\diff t} &=& I_{zz}\, \ff{\diff \omega}{\diff t} \EE
N &=& I_{zz}\, \dot{\omega}
\end{eqnarray}
と表せます。
このように、慣性モーメントと角速度により表される式は、回転運動に関するものであるため、回転運動の運動方程式と呼びます。
\begin{eqnarray}
N &=& I\, \dot{\omega} =I\ff{\diff^2 \q}{\diff t^2}\\
\,
\end{eqnarray}
$F=ma$と比較すると、モーメントが力、慣性モーメントが質量、角速度の時間微分（＝角加速度）が加速度に相当する物理量になっていることが分かります。
| 力 $\B{F}$ | モーメント $N$ |
| 質量 $m$ | 慣性モーメント $I$ |
| 加速度 $\B{a}$ | 角加速度 $\dot{\B{\omega}}$ |
慣性モーメントの一般化
$z$軸回りの回転を考えましたが、回転軸を任意の方向に設定した場合、慣性モーメントはどうなるでしょうか？
少し考えてみましょう。
角運動量$\B{L}$は、
\begin{eqnarray}
\B{L} &=& \B{r}\times m \B{v} \EE
&=& \B{r}\times m(\B{r}\times\B{\omega})
\,
\end{eqnarray}
と表せました。
先ほど求めた$z$軸回りの慣性モーメントは、$L_z = I_{zz}\omega$と表せたように、角運動量と角速度を結びつける係数として表れていました。
類推から、上の角運動量の式の右辺を角速度について整理してやると、慣性モーメントに相当する何らかの行列が出てきそうです。
実際、この行列は計算できて、慣性モーメントを拡張し一般化したものに相当します。
次はこの行列、慣性行列について考えていきましょう。
慣性行列
円盤や球、板はz軸回りでの対称性が高いため、慣性モーメントを比較的簡単に計算できした。
しかし、図のような方向に円盤の回転軸を設定した場合、慣性モーメントはどうなるでしょうか？
このような任意の方向の回転軸に対する慣性モーメントを考察しましょう。
慣性モーメントは角運動量の計算から導出されるため、角運動量を計算しましょう。
角運動量$\B{L}$は、ベクトル演算により以下のように表せました。
\begin{eqnarray}
\B{L} &=& m \B{r}\times \B{v} \EE
&=& m \B{r}\times (\B{\omega} \times \B{r}) \EE
&=& m (\B{r}\cdot\B{r})\B{\omega} \,-\, m (\B{r}\cdot\B{\omega})\B{r} \EE
&=& mr^2\B{\omega} \,- \,m(\B{r}\cdot\B{\omega})\B{r}
\end{eqnarray}
途中の変形で、ベクトル三重積の公式を使っています。
各ベクトルは
$$
\B{r} =
\left(
\begin{array}{c}
r_x \\
r_y \\
r_z
\end{array}
\right), \,\, \,\,\,\,
\B{\omega} =
\left(
\begin{array}{c}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{array}
\right)
$$
と表せます。
実際に計算してみましょう。
\begin{eqnarray}
\B{L} &=& mr^2\B{\omega} \,- \,m(\B{r}\cdot\B{\omega})\B{r} \EE
&=&
mr^2
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix}
\,- m\,
\begin{pmatrix}
r_x^2\omega_x + r_x r_y \omega_y + r_xr_z \omega_z \EE
r_xr_y\omega_x + r_y^2 \omega_y + r_yr_z \omega_z \EE
r_xr_z\omega_x + r_y r_z \omega_y + r_z^2 \omega_z \EE
\end{pmatrix} \EE \EE
&=& m
\begin{pmatrix}
r^2-r_x^2 & r_xr_y & r_xr_z \\
r_xr_y & r^2-r_y^2 & r_yr_z \\
r_xr_z & r_yr_z & r^2-r_z^2 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix}
\EE \EE
&=&
\begin{pmatrix}
m(r_y^2+r_z^2) & mr_xr_y & mr_xr_z \\
mr_xr_y & m(r_x^2+r_z^2) & mr_yr_z \\
mr_xr_z & mr_yr_z & m(r_x^2+r_y^2) \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix} \tag{1}
\EE
\end{eqnarray}
となります。最終行にて、$r^2 = r_x^2 + r_y^2 + r_z^2$であることを利用しています。
この行列を慣性行列と呼びます。
さて、式(1)について考えましょう。
回転軸が$z$軸方向と平行なとき、$r_z=0, \omega_x=\omega_y=0$になるので、式(1)は、
\begin{eqnarray}
\B{L} &=& m
\begin{pmatrix}
r_y^2 & r_xr_y & 0 \\
r_xr_y & r_x^2 & 0 \\
0 & 0 & r_x^2+r_y^2 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\omega_z
\end{pmatrix}
\EE
&=& m
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
(r_x^2+r_y^2)\omega_z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
I_{zz}\,\omega_z
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
となり、$z$軸回りの慣性モーメントと一致することが分かります。
$x$軸、$y$軸回りの回転の場合も同様に計算すると、それぞれの軸回りの慣性モーメントが求められます。
計算結果を観察すると、行列の対角成分が各軸回りの慣性モーメントに対応していることが分かります。
対角成分を$I_{xx}, I_{yy}, I_{zz}$と表しましょう。非対角成分を$r$の添え字に対応させて表現すると、式(1)の慣性行列$\B{I}$は、
\begin{eqnarray}
\B{I} =
\begin{pmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{xy} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{xz} & I_{yz} & I_{zz}
\end{pmatrix} \\
\,
\end{eqnarray}
と表せます。非対角項を慣性積と呼びます。
主慣性モーメント
慣性行列を計算してみましょう。
図のように、$x$軸から45°傾いた位置に質量$m$の質点があり、それぞれの座標を$(a,a,0), (-a,-a,0)$とします。
慣性行列に代入すると、
\begin{eqnarray}
\sum_{i=1}^2\B{I} &=& m\sum_{i=1}^2
\begin{pmatrix}
r_y^2+r_z^2 & r_xr_y & r_xr_z \\
r_xr_y & r_x^2+r_z^2 & r_yr_z \\
r_xr_z & r_yr_z & r_x^2+r_y^2 \\
\end{pmatrix} \EE
&=& 2m
\begin{pmatrix}
a^2 & a^2 & 0 \\
a^2 & a^2 & 0 \\
0 & 0 & 2a^2 \\
\end{pmatrix} \EE
&=& 2ma^2
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix} \EE
\end{eqnarray}
と計算できます。
さて、次のように座標軸を45°回転させた場合、慣性行列はどうなるでしょうか？
新しい座標系$x’-y’$系ではそれぞれの質点の座標は、$(\sqrt{2}a, 0, 0), (-\sqrt{2}a, 0, 0)$となります。
これを慣性行列に代入すると、
\begin{eqnarray}
\sum_{i=1}^2\B{I} &=& m\sum_{i=1}^2
\begin{pmatrix}
r_y^2+r_z^2 & r_xr_y & r_xr_z \\
r_xr_y & r_x^2+r_z^2 & r_yr_z \\
r_xr_z & r_yr_z & r_x^2+r_y^2 \\
\end{pmatrix} \EE
&=& 2m
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 2a^2 & 0 \\
0 & 0 & 2a^2 \\
\end{pmatrix} \EE
&=& 4ma^2
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \EE
\end{eqnarray}
となり、対角行列となりました。要するに慣性行列の中身は座標の選び方により変わるということです。
座標を回転させることによって慣性行列を対角化できました。
たまたま対角化に成功したのでしょうか？
実は、一般の場合でも座標軸を適当に回転させてやれば、慣性行列が必ず対角化できることが知られています。
座標軸の回転を$\B{R}$という行列で表せば、対角化された慣性行列$\B{I}’$と対角化前の慣性行列$\B{I}$の間には次のような関係が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\B{I}’ &=& \B{R}^{T}\B{I}\B{R} \EE
&=&
\begin{pmatrix}
I’_{xx} & 0 & 0 \\
0 & I’_{yy} & 0 \\
0 & 0 & I’_{zz} \\
\end{pmatrix} \\
\,
\end{eqnarray}
慣性行列が対角化されるような座標$x’y’z’$を慣性主軸、慣性主軸回りの慣性モーメントを主慣性モーメントと呼びます。
オイラーの運動方程式
例えば、回転する地球の運動を考えたい場合、観測者は地上にいるため、運動の解析は地球に固定された座標で行うことになります。
この場合、回転軸の向きが時々刻々と変化している可能性があります。
そのため、回転の運動方程式を剛体に固定された座標（動座標）から計算したものと、静止座標系から計算されるものに分解したいというモチベーションが生まれる訳です。
詳しい導出過程は省きますが、静止座標系から見た角運動量を$\B{L}$、動座標から見た角運動量を$\B{L}’$とし、回転軸の角速度を$\B{\omega}$とすると、次のような関係式が成り立つことが知られています。
\begin{eqnarray}
\ff{\diff \B{L}}{\diff t} &=& \ff{\diff \B{L}’}{\diff t} + \B{\omega}\times\B{L}’ \tag{a}
\end{eqnarray}
動座標が慣性主軸になるよう、上手く選んでやれば、
\begin{eqnarray}
\B{L}’ &=& \B{I}\B{\omega} \EE
&=&
\begin{pmatrix}
I_{x’x’} & 0 & 0 \\
0 & I_{y’y’} & 0 \\
0 & 0 & I_{z’z’} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_x’ \\
\omega_y’ \\
\omega_z’ \\
\end{pmatrix} \EE
&=&
\begin{pmatrix}
I_{x’x’}\omega_x’ \\
I_{y’y’}\omega_y’ \\
I_{z’z’}\omega_z’ \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
とできます。
これを式(a)に代入すると、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff \B{L}}{\diff t} &=& \ff{\diff \B{L}’}{\diff t} + \B{\omega}\times\B{L}’ \EE
&=& \B{I}\ff{\diff \B{\omega}}{\diff t} +
\begin{vmatrix}
\B{i}’ & \B{j}’ & \B{k}’ \\
\omega_x’ & \omega_y’ & \omega_z’ \\
I_{x’x’}\omega_x’ & I_{y’y’}\omega_y’ & I_{z’z’}\omega_z’
\end{vmatrix} \EE
\B{N} &=& \B{I}\ff{\diff \B{\omega}}{\diff t} \,-\,
\begin{pmatrix}
(I_{y’y’} \,-\, I_{z’z’})\omega_y’\omega_z’ \\
(I_{z’z’} \,-\, I_{x’x’})\omega_z’\omega_x’ \\
(I_{x’x’} \,-\, I_{y’y’})\omega_x’\omega_y’ \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
となります。$x’, y’, z’$を1, 2, 3に置き換えて、見やすくし、$I_{x’x’} = I_1$などとして整理します。
さて、上式のことをオイラーの運動方程式と呼びます。
本格的な剛体の運動の解析を行う場合オイラーの運動方程式を使います。
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
N_1 &=& I_1\ff{\diff \omega_1}{\diff t} \,-\, (I_2 \,-\, I_3)\omega_2\omega_3 \EE
N_2 &=& I_2\ff{\diff \omega_2}{\diff t} \,-\, (I_3 \,-\, I_1)\omega_3\omega_1 \EE
N_3 &=& I_3\ff{\diff \omega_3}{\diff t} \,-\, (I_1 \,-\, I_2)\omega_1\omega_2 \EE
\end{eqnarray}
\right.
$$
オイラーの運動方程式を使うことで、コマや地球の歳差運動を解析できるようになります。
