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統計力学

大分配関数とは?|ギブス自由のエネルギーと大分配関数の関係

前回、グランドカノニカルアンサンブルの理論から大分配関数 $\DL{Z_G=\sum_{i,j}w_{i,j}\,e^{-\beta E_{i,j}-\gamma\,N_i}}$ というものを導きました。 しかしながら、指数部分の $\be...
統計力学

グランドカノニカルアンサンブルとは?|理論と導出

今回は、カノニカルアンサンブル(正準集団)の理論を拡張したグランドカノニカルアンサンブル(大正準集団)の理論について解説していきます。 カノニカルアンサンブルでは部分系を閉じた系と考え物質の移動を考えませんでしたが、グランドカノニカルアンサ...
統計力学

エネルギー等分配則とは?|自由度とエネルギーの分配法則

統計力学の重要な成果として、エネルギー等分配則があります。エネルギー等分配則とは、どの自由度に対しても同じ大きさのエネルギーが配分されるという法則のことです。具体的には、次のようにエネルギーが分配されます。 エネルギー等分配則とは? $1$...
統計力学

物理量の平均値と自由粒子の平均エネルギーの導出|分配関数の応用

エネルギー等分配則を理解する準備として、自由粒子の平均エネルギーの導出過程について解説します。 まず、一般論としてある物理量 $A$ (速度・運動量・エネルギー等)の平均値 $\langle A\rangle$ は次にように表せ、 物理量の...
統計力学

カノニカルアンサンブルとは?|カノニカル分布と分配関数の導出

統計力学の重要概念であるカノニカルアンサンブル($\RM{canonical\,ensemble}$, 正準集団)と分配関数について解説します。 カノニカルアンサンブルとは? カノニカルアンサンブル:多数の閉じた系を集めた統計集団のこと ※...
統計力学

ギブスの定理とは?|微視的状態数とエネルギーの分配確率の理論

以前、結合系の熱平衡について考察し、統計力学の立場からも熱平衡状態にて温度が一致することを示しました。 今回は結合系の考え方を拡張し、熱浴に置かれた系が熱平衡に到達した状態でのエネルギーの分配確率を計算することにします。 この分配確率はギブ...
統計力学

結合系の熱平衡|統計力学による結合系の解析

二つ以上の容器を接触させた系のことを結合系と呼びます。 接触させた直後には温度差があっても、接触面でエネルギーの交換が行われるため、徐々に二つの容器の温度差は無くなっていきます。つまり、十分時間が経過した後は二つの容器は最終的に等しい温度と...
統計力学

統計力学的温度とは?|統計力学による温度の再定義

熱力学にて熱力学第零法則に基づいて温度という物理量を導入しました。とはいえ、熱力学第零法則より定義された温度はマクロな状態に依存していて、分子の運動状態との関係については不透明なままです。 そこで、分子のミクロな状態と温度というマクロな物理...
統計力学

熱力学的重率とは?|巨視的状態と微視的状態数の架け橋

今回は熱力学的重率と呼ばれる、微視的状態の数に関わる重要な数値の導出方法について解説します。 さて、熱力学的重率は次のように定義される量のことです。 熱力学的重率とは? ある巨視的状態(=圧力や温度など)に含まれる微視的状態数のことを熱力学...
確率・統計学

正規分布とは?|釣り鐘型の連続確率分布とは?

今回は、確率分布で最も基本的な分布である正規分布について説明します。 正規分布とは? 次の確率密度関数で表される確率分布を正規分布と呼ぶ \begin{split}f(x)=\ff{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\ff{...