デカルト座標系（直交座標系）で表した速度と加速度を、極座標系で表す方法について解説します。
二つの座標系での速度と加速度の変換は偏微分を用いることで計算できます。
デカルト座標と極座標
通常、物体の位置を指定する際にはデカルト座標系を使用します。デカルト座標系は直交座標系とも呼ばれます。
ところで、天体力学の分野のように物体が公転や回転運動する場合では、極座標系と呼ばれる座標系を利用する方が便利な場合があります。
この節では、デカルト座標と極座標での座標変換について解説します。
二次元空間
始めに、二次元の場合でのデカルト座標と極座標の対応関係について見ていきます。
復習になりますが、ある点の位置をデカルト座標で表すと$(x, y)$とできました。
一方、極座標では点の位置を動径の長さと偏角の二つの変数の組み合わせで表します。
したがって、同じ点を極座標で表すと$(r\cos\theta, r\sin\theta)$となる訳です。
さて、二つの座標間での対応関係を求めるため、二つの座標を重ね合わせてみましょう。
図より、これらの座標同士の関係が次のように対応することが分かります。
$$
\left\{
\begin{split}
&r = \sqrt{x^2 + y^2} \EE
&x = r\cos\theta \EE
&y = r\sin\theta
\end{split}
\right. \tag{1}
$$
$x$と$y$がそれぞれ$x(r, \theta)$や$y(r, \theta)$と二変数関数として表現されること注目してください。
この点は、後々の極座標での速度と加速度を計算する際の重要な伏線となります。
三次元空間
次に三次元でのデカルト座標と極座標の対応を調べましょう。
まず、三次元空間でのある点の座標をデカルト座標で表現すると$(x, y, z)$とできました。
次に極座標での座標について考えます。
極座標では、原点と点を結ぶベクトルを動径$\B{r}$として、$z$軸からベクトル$\B{r}$までの角度を$\theta$、また図のように$x$軸からの角度を$\varphi$とした三つの変数により表します。
すると、この点の座標は$(r\sin \theta \cos \varphi, r\sin \theta \sin \varphi, r\cos \theta)$と表せます。
二次元の場合と同様に、デカルト座標との比較により、
$$
\left\{
\begin{split}
&r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \EE
&x = r\sin \theta \cos \varphi \EE
&y = r\sin \theta \sin \varphi \EE
&z = r\cos \theta \EE
\end{split}
\right. \tag{2}
$$
となることが分かります。
多変数関数の微分
今回は、デカルト座標で表した速度と加速度を極座標で表すことが目標になります。
しかし、いきなりこの問題に手を付けるのは難しいため、まずは一般的な多変数関数の微分について考えましょう。
偏微分とは
デカルト座標と極座標との対応関係で見たように、ある値が複数の変数によって表されることがあります。
このように、二つ以上の変数を持つような関数のことを多変数関数と呼びます。
多変数関数の一例として、$z = f(x,y) = x^2 + xy^2$という関数について考えましょう。
この関数についての微分を考えたいのですが、このままではどうして良いか分かりません。
少々退屈かもしれませんが、偏微分という概念について解説します。
関数$z = f(x, y) $があるとき、ある点において$x$について偏微分した関数を$f(x,y)$の$x-$偏導関数と呼び、
具体的には、次のような計算式で定義されます。（偏微分では$\diff$ではなく、$\del$（ラウンドまたはデルと呼びます）の記号を使います）
\begin{eqnarray}
\ff{\del f}{\del x} = \lim_{h \to 0}\ff{f(x+h, y)\,-f(x,y)}{h} \EE
\end{eqnarray}
このように、多変数関数を$x$についての偏微分した結果を$f_x,\, f_x(\B{x}),\, f_x(x,y),\, \DL{\ff{\del f}{\del x}}$などと表します。
この偏微分の計算を一階偏微分と呼びます。
通常の微分と同様に二階偏微分、三階偏微分なども考えることができます。
それでは実際に$x$についての偏微分を計算してみましょう。
定義式より、$z = f(x,y) = x^2 + xy^2$の偏微分は、
\begin{eqnarray}
\ff{\del f}{\del x} &=& \lim_{h \to 0}\ff{(x+h)^2 + (x+h)y^2 \,- x^2 \,- xy^2 }{h} \EE
&=& \lim_{h \to 0}\ff{2xh + h^2 + y^2h }{h} \EE
&=& \lim_{h \to 0}\left( 2x + h + y^2 \right) \EE
&=& 2x + y^2
\end{eqnarray}
と計算できます。
すでに気付いた方も居るかもしれませんが、$y$を定数と見なして通常の$x$での微分をした場合と同じ結果になっています。
小難しいことはさておき、偏微分を計算するときは、特定の変数以外を定数と見なして微分すると覚えておけば問題ありません。
先ほどの関数に当てはめれば、$x$についての偏微分$\DL{\ff{\del f}{\del x}}$と$y$についての偏微分$\DL{\ff{\del f}{\del y}}$は次のように計算できるのです。
$$
\left\{
\begin{split}
&\ff{\del f}{\del x} = 2x + y^2 \EE
&\ff{\del f}{\del y} = 2xy \EE
\end{split}
\right.
$$
さらに、$x,y$についての一階偏微分をさらに$x,y$で偏微分したものを二階偏微分と呼びます。
二階偏微分の計算結果は次のように4通りの偏導関数が得られます。
$$
\left\{
\begin{split}
&f_{xx} = \ff{\del^2 f}{\del x^2} = 2 \EE
&f_{yy} = \ff{\del^2 f}{\del y^2} = 2x \EE
&f_{xy} = \ff{\del}{\del y}\left( \ff{\del f}{\del x}\right) = 2y \EE
&f_{yx} = \ff{\del}{\del x}\left( \ff{\del f}{\del y}\right) = 2y
\end{split}
\right.
$$
$f_{xy}=f_{yx}$すなわち$\DL{\ff{\del^2 f}{\del x \del y} = \ff{\del^2 f}{\del y \del x}}$となることは注目に値します。
両者が一致したのは偶然ではなく、元の関数が連続である場合は$f_{xy} = f_{yx}$となります。（シュワルツの条件）
要するに、通常は偏微分の順序は気にしなくて良いということです。
連鎖律（チェーンルール）
やっかいなことに、多変数関数の変数がさらにある変数の関数で表され、合成関数となっている場合があります。
たとえば、変位や角度変化が時間$t$の関数で表されているのような場合が当てはままります。
先ほどのデカルト座標と極座標の対応関係で考えれば、$x(t) = f\big(r(t), \theta(t), \varphi(t)\big)$となり合成関数で表せるわけです。
さて、$x$の$t$に関する微分、すなわち$\DL{\ff{\diff x}{\diff t}}$（速度）を次のように計算できることが知られています。
\begin{eqnarray}
\ff{\diff x}{\diff t} &=& \ff{\del x}{\del r}\ff{\diff r}{\diff t} + \ff{\del x}{\del \theta}\ff{\diff \theta}{\diff t} + \ff{\del x}{\del \varphi}\ff{\diff \varphi}{\diff t} \EE
&=& f_r\ff{\diff r}{\diff t} + f_{\theta}\ff{\diff \theta}{\diff t} + f_{\varphi}\ff{\diff \varphi}{\diff t}
\end{eqnarray}
このように、複数の関数で構成された合成関数の微分がそれぞれの変数の偏導関数の積で与えられる関係式で表せるということを連鎖率（チェーンルール）と呼びます。
さらに、$t$での微分、すなわち$\DL{\ff{\diff^2 x }{\diff t^2}}$（加速度）について考えます。
両辺を$t$で微分すると、
\begin{split}
\ff{\diff^2 x}{\diff t^2} &= \ff{\diff}{\diff t}\left( f_r\ff{\diff r}{\diff t} + f_{\theta}\ff{\diff \theta}{\diff t} + f_{\varphi}\ff{\diff \varphi}{\diff t} \right) \EE
&= \ff{\diff f_r}{\diff t}\ff{\diff r}{\diff t} + f_r \ff{\diff^2 r}{\diff t^2} \EE
&\qquad \, +\, \ff{\diff f_{\theta}}{\diff t}\ff{\diff \theta}{\diff t} + f_{\theta} \ff{\diff^2 \theta}{\diff t^2} \EE
&\qquad \, +\, \ff{\diff f_{\varphi}}{\diff t}\ff{\diff \varphi}{\diff t} + f_{\varphi} \ff{\diff^2 \varphi}{\diff t^2} \EE
\end{split}
となります。
さて、$f_r, f_{\theta}, f_{\varphi}$ の部分に関してですが、これらも$r(t), \theta(t), \varphi(t)$の関数であるため、先述の一階微分と同様に連鎖率を使って以下のように計算できます。
$$
\left\{
\begin{split}
& \ff{\diff f_r}{\diff t} = f_{rr}\ff{\diff r}{\diff t} + f_{r\theta}\ff{\diff \theta}{\diff t} + f_{r\varphi}\ff{\diff \varphi}{\diff t} \EE
& \ff{\diff f_{\theta}}{\diff t} = f_{\theta r}\ff{\diff r}{\diff t} + f_{\theta\theta}\ff{\diff \theta}{\diff t} + f_{\theta\varphi}\ff{\diff \varphi}{\diff t} \EE
& \ff{\diff f_{\varphi}}{\diff t} = f_{\varphi r}\ff{\diff r}{\diff t} + f_{\varphi\theta}\ff{\diff \theta}{\diff t} + f_{\varphi\varphi}\ff{\diff \varphi}{\diff t} \EE
\end{split}
\right.
$$
これを先ほどの計算結果に代入し、さらに偏微分の順序交換ができると仮定し整理すると、加速度を次のように求められます。
\begin{split}
\ff{\diff^2 x}{\diff t^2} &= f_{rr}\left( \ff{\diff r}{\diff t} \right)^2 + f_{\theta\theta}\left( \ff{\diff \theta}{\diff t} \right)^2 + f_{\varphi\varphi}\left( \ff{\diff \varphi}{\diff t} \right)^2 \EE
&\qquad \, +\, 2f_{r\theta}\ff{\diff \theta}{\diff t}\ff{\diff r}{\diff t} + 2f_{r\varphi}\ff{\diff \varphi}{\diff t}\ff{\diff r}{\diff t} + 2f_{\varphi\theta}\ff{\diff \varphi}{\diff t}\ff{\diff \varphi}{\diff t} \EE
&\qquad \, +\, f_r \ff{\diff^2 r}{\diff t^2} + f_{\theta} \ff{\diff^2 \theta}{\diff t^2} + f_{\varphi} \ff{\diff^2 \varphi}{\diff t^2}
\end{split}
かなり派手な見た目の計算結果となりました。
速度と加速度の極座標表示
準備が整ったので、デカルト座標での速度・加速度を極座標系で表す方法について計算しましょう。
※ 時間微分に関してはニュートンの記法に従い簡略化して表します。
二次元
まずは二次元での極座標での速度を計算しましょう。
前述の合成関数の微分を思い出すと、デカルト座標での速度は極座標表示で次のように求められます。
$$
\left\{
\begin{split}
&\dot{x} = \dot{r}\cos\theta \,-r\dot{\theta}\sin\theta \EE
&\dot{y} = \dot{r}\sin\theta +r\dot{\theta}\cos\theta \EE
\end{split}
\right. \tag{3}
$$
さらに加速度は、
$$
\left\{
\begin{split}
&\ddot{x} = -r\cos\theta\big(\dot{\theta}\big)^2 \,- 2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta + \ddot{r}\cos\theta \,-r\ddot{\theta}\sin\theta \EE
&\ddot{y} = -r\cos\theta\big(\dot{\theta}\big)^2 + 2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta + \ddot{r}\sin\theta + r\ddot{\theta}\cos\theta \EE
\end{split}
\right. \tag{4}
$$
となります。
三次元
次に三次元での極座標での速度を計算しましょう。
先ほどと同様に速度は、以下のように求められ、
$$
\left\{
\begin{split}
&\dot{x} = \dot{r}\sin\theta\cos\varphi + r\dot{\theta}\cos\theta\cos\varphi \,- r\dot{\varphi}\sin\theta\sin\varphi \EE
&\dot{y} = \dot{r}\sin\theta\cos\varphi + r\dot{\theta}\cos\theta\sin\varphi + r\dot{\varphi}\sin\theta\cos\varphi \EE
&\dot{z} = \dot{r}\cos\theta \,- r\dot{\theta}\sin\theta \EE
\end{split}
\right. \tag{5}
$$
そして加速度は、
$$
\left\{
\begin{split}
&\ddot{x} = -r\big(\dot{\theta}\big)^2\sin\theta\cos\varphi \,- r\big(\dot{\varphi}\big)^2\sin\theta\cos\varphi + 2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta\cos\varphi \\
&\qquad\quad\,- 2\dot{r}\dot{\varphi}\cos\theta\sin\varphi + 2r\dot{\theta}\dot{\varphi}\cos\theta\sin\varphi + \ddot{r}\sin\theta\cos\varphi \\
&\qquad\quad\, +r\ddot{\theta}\cos\theta\cos\varphi \,- r\ddot{\varphi}\sin\theta\sin\varphi \EE
&\ddot{y} = -r\big(\dot{\theta}\big)^2\sin\theta\sin\varphi \,- r\big(\dot{\varphi}\big)^2\sin\theta\sin\varphi + 2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta\sin\varphi \\
&\qquad\quad\,+ 2\dot{r}\dot{\varphi}\cos\theta\cos\varphi + 2r\dot{\theta}\dot{\varphi}\cos\theta\cos\varphi + \ddot{r}\sin\theta\sin\varphi \\
&\qquad\quad\, +r\ddot{\theta}\cos\theta\sin\varphi + r\ddot{\varphi}\sin\theta\cos\varphi \EE
&\ddot{z} = -r\big(\dot{\theta}\big)^2\cos\theta \,- 2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta + \ddot{r}\cos\theta \,- r\ddot{\theta}\sin\theta \EE
\end{split}
\right. \tag{6}
$$
と求められます。
参考記事
