コンデンサーの性能は電気容量というパラメータを用いて表現されます。例として、平行平板コンデンサーの電気容量は平板の面積 $S$ と極板間の間隔 $d$、そして、誘電率により表されます。
そして、誘電率は次のように定義される物理量のことです。
誘電率：誘電体(=不導体)の分極のし易さを表した物質固有の定数。電媒定数とも呼ばれる。
前述のように、誘電率は電気容量を決める要素の一つとなります。したがって、コンデンサーの設計の際には適切な誘電率となるよう、誘電体(=不導体)を選定する必要があります。
今回は、このようにコンデンサーの性能の鍵を握る誘電率と電気容量の関係について説明していきます。
誘電率について説明する前に、まずは誘電体をコンデンサーに挿入したときの変化について考えていきます。
誘電体とコンデンサー
始めに、下図のような導体平板で構成されたコンデンサーについて考えます。
このとき、平行平板コンデンサーの極板の面積を $S$、極板間の間隔を $d$ とします。また、コンデンサーに電気量 $Q$ の電荷が蓄えられており、極板間の電圧が $V_0$ であったとします。
今、コンデンサーの周辺に形成される電場はこちらで説明したように、極板間にのみ存在することになります。そして、電場の大きさ $E_0$ はこちらの計算結果より次のように与えられます。
\begin{split}
E_0=\ff{V_0}{d}
\end{split}
次に、極板の間にガラス等の誘電体(=不導体)を挿入したとします。すると、極板の電荷の影響を受け、誘電体の表面には誘導分極による分極電荷が生じることになります。誘電分極の具体的なメカニズムについては別の機会に詳しく説明します。一旦は、誘電分極による分極電荷に注目して考えを進めていきます。
図から分かるように、正の電荷が蓄えられた極板側の誘電体表面には負の分極電荷が現れ、反対側には正の分極電荷が現れます。また、分極電荷によって誘電体の内部には新たな電場が生じることになります。
さて、新たに形成された電場は $E_0$ とは逆方向のベクトルを持っています。その結果、極板間の正味の電場はこれらを合成した $E_1$ となります。(誘電分極による電場は $\B{E}_0$ を打ち消す程の大きさではないことに留意してください)
$E_1$ は $E_0$ と同じ方向を向いていますが、その大きさは $E_0$ よりも減少します。したがって、誘電体を入れた状態での極板間の電圧 $V_1$ は、$V_0>V_1$ の関係となります。
もちろん、誘電体を入れたとしても極板に蓄えられた電気量は変化しません。ところが、電圧は減少しています。この謎は電気容量の変化にも着目すると解決できます。すなわち、電気量が変化しないことに着目して、平行平板コンデンサーの公式を適用すると、
\begin{split}
Q&=C_0V_0=C_1V_1\EE
\therefore&\, \ff{V_0}{V_1}=\ff{C_1}{C_0}=\kappa
\end{split}
が得られます。なお、得られた比を $\kappa$(カッパ)と置くことにします。
先述のように $V_0>V_1$ の関係にあることより $\kappa>1$ であることも言えます。ゆえに、$C_1>C_0$ と言え、誘電体を挿入すると電気容量が増加することも分かります。
$\kappa$ はコンデンサーの電気容量に関係する重要な定数と言えます。そのため、$\kappa$ に比誘電率という名前を付けることにします。比誘電率は無次元数であり、ガラス等の具体的な比誘電率は下表のようになります。
\begin{array}{c|cccc}
\, & 空気(真空) & 海水 & ガラス & ナイロン \\
\hline
\kappa & 1.0 & 81 & 4.5\sim 5.0 & 3.5\sim 5.0\\
\end{array}
誘電率とは？
再び、誘電体を入れる前のコンデンサーの電場について考えます。このとき、極板間は真空(あるいは空気)であるため、電場の大きさ $E_0$ が次のように表せます。(→無限平板が形成する電場の大きさ)
\begin{eqnarray}
E_0&=2\pi k \sigma=\ff{\sigma}{\eps_0}\tag{1}
\end{eqnarray}
天下り的になりますが、$4\pi k=\DL{\ff{1}{\eps_0}}$ と置くことにします。$\eps_0$ は後述する真空の誘電率と呼ばれる定数です。
この後、誘電体を挿入すると極板間の電場の大きさは $E_1$ となる訳ですが、$E_0$ と $E_1$ の比率は先述の議論より次の関係になり、
\begin{split}
\kappa&=\ff{V_0}{V_1}=\ff{E_0\,d}{E_1 d} \EE
\therefore&\,E_0=\kappa E_1
\end{split}
これに $E_0=\DL{\ff{\sigma}{\eps_0}}$ を適用すると、
\begin{split}
E_1=\ff{1}{\kappa \eps_0}\cdot \sigma=\ff{\sigma}{\eps_1}
\end{split}
が導けます。これを式$(1)$と比較して、$\DL{\ff{1}{\kappa \eps_0}=\ff{1}{\eps_1}}$ と置くことにします。$\eps_0$ と $\kappa$ は定数のため、$\eps_1$ も定数となります。そして、これは誘電分極に関わる定数のため、$\eps_1$ を誘電率と名付けることにします。
誘電率は具体的には次のように定義されます。
誘電率：誘電体(=不導体)の分極のし易さを表した物質固有の定数。電媒定数とも呼ばれる。
誘電率を用いると、比誘電率を
\begin{split}
\kappa=\ff{\eps_1}{\eps_0}
\end{split}
という関係で結べ、これより、
\begin{split}
\eps_0 E_0=\eps_1 E_1
\end{split}
であることも導けます。
真空の誘電率とは？
上で示したように誘電率は物体固有の定数です。誘電率で注目すべき点は実体がある物質だけでなく、真空という空間そのものにも誘電率が存在する点です。
そして、空間自身が持つ誘電率のことを電磁気学では真空の誘電率と呼びます。
前出したように、真空の誘電率 $\eps_0$ は円周率 $\pi$ とクーロン定数 $k$ を用いて次のように定義されます。
\begin{split}
\eps_0=\ff{1}{4\pi k}\NEQ 8.854\times 10^{-12}\,[ \RM{C^2/Nm^2} ]
\end{split}
なお、$\eps_0$ の具体的な数値は約 $8.854\times 10^{-12}\,[ \RM{C^2/Nm^2} ]$ となります。
真空の誘電率 $\eps_0$ を、円周率 $\pi$ とクーロン定数 $k$ を用いて次のように定義する。
\begin{split}
\eps_0=\ff{1}{4\pi k}\NEQ 8.854\times 10^{-12}\,[ \RM{C^2/Nm^2} ] \\
\,
\end{split}
また、ある物体の誘電率は真空誘電率 $\eps_0$ と比誘電率 $\kappa$ が分かっていれば、直ちに求められます。
誘電率と電気容量の関係
最後に、平行平板コンデンサーに誘電体を挿入した場合の静電容量の変化を計算します。
先述のように、真空の状態での平行平板コンデンサーの電気容量 $C_0$ と誘電体を挿入したときの電気容量 $C_1$ の比は次のように表せました。
\begin{split}
\kappa=\ff{C_1}{C_0}
\end{split}
したがって、$C_1$ は
\begin{split}
C_1=\kappa C_0=\ff{\eps_1}{\eps_0}C_0
\end{split}
の関係にあります。さらに、比誘電率 $\kappa$ は真空の誘電率 $\eps_0$ と誘電体の誘電率 $\eps_1$ を用いて $\kappa=\DL{\ff{\eps_1}{\eps_0}}$ の関係にあります。ゆえに、$\DL{C_1=\ff{\eps_1}{\eps_0}C_0}$ と言えます。
ところで、$C_0$ は極板間間隔を $d$、極板の面積を $S$ として以下のように表せました。
\begin{split}
C_0=\eps_0 \ff{S}{d}
\end{split}
ゆえに、$C_1$ は、
\begin{split}
C_1=\eps_1 \ff{S}{d}
\end{split}
となります。
誘電率 $\eps_1$ の平行平板コンデンサーの電気容量 $C_1$ は次のように与えられる。
\begin{split}
C_1=\ff{\eps_1S}{d}
\end{split}
ただし、$S$ を極板の面積、$d$ を極板間の間隔とする。
このように、誘電体の影響によってコンデンサーの電気容量は変化します。また、誘電体の誘電率は基本的には真空の誘電率よりも大きいため、誘電体を入れることでコンデンサーの電気容量が増加することも分かります。
