二重円筒コンデンサーの電気容量と静電エネルギーの導出

今回は二重円筒コンデンサーを題材に、電気容量と静電エネルギーの具体的な計算方法について解説します。

結論を示すと、二重円筒コンデンサーによる電気容量と静電エネルギーは次のように与えられます。

上で示した二重円筒コンデンサーの電気容量と静電エネルギーの導出を行うため、始めは二重円筒コンデンサー間の電圧の計算を行います。

二重円筒コンデンサーの電圧の導出

早速、二重円筒コンデンサーの電圧について計算を行います。

上図のように、長さが $l$ で半径がそれぞれ $r_i,r_o$ の二重の円筒により形成されるコンデンサーがあるとします。また、このようなコンデンサーを二重円筒コンデンサーと呼びます。このとき、外側の円筒に電気量 $Q$、内側の円筒には電気量 $-Q$ の電荷が蓄えられているとします。

$l$ が十分に大きいとき、円筒の端での電場の乱れは無視できる程度に小さいと言えます。そのため、円筒間のみの電場について考えれれば良く、したがって、円筒間の電場の大きさはガウスの法則から次のように求められます。

\begin{split}
E=\ff{4\pi k Q}{2\pi rl}=\ff{2kQ}{l}\cdot\ff{1}{r}
\end{split}

これより、ベクトル場としての電場 $\B{E}$ を、

\begin{split}
\B{E}=\ff{4\pi k Q}{2\pi rl}=\ff{2kQ}{l}\cdot\ff{\B{r}}{r^2}
\end{split}

と表せます。(太字はベクトルを表します。詳しくはベクトルの記法で説明しています）以上より、電圧の一般式を用いて以下のように計算できます。

\begin{split}
V&=-\int_{r_o}^{r_i}\B{E}\cdot\diff\B{r}\EE
&=\int_{r_i}^{r_o}\ff{2kQ}{l}\cdot\ff{\B{r}}{r^2}\cdot \left(\diff r\ff{\B{r}}{r}\right)\EE
&=\ff{2kQ}{l}\int_{r_i}^{r_o}\ff{\diff r}{r}\EE
&=\ff{2kQ}{l}\Big[ \log r \Big]_{r_i}^{r_o}\EE
&=\ff{2kQ}{l}\cdot\log\ff{r_o}{r_i}
\end{split}

以上より、二重円筒コンデンサーの電圧を計算できました。また、二重円筒コンデンサーの電圧は筒同士の径の比により決まることも分かります。

二重円筒コンデンサーの電気容量の導出

上で求めた結果から、二重円筒コンデンサーの電気容量 $C$ が求められます。

さて、こちらで説明したように電気容量 $C$ のコンデンサーの極板に $Q$ の電気量が蓄えられているとき、コンデンサー間の電圧 $V$ との間に次の関係が成立しました。

\begin{split}
V=\ff{Q}{C}
\end{split}

これを先程求めた二重円筒間の電圧と比較すると、

\begin{split}
\ff{1}{C}&=\ff{2k}{l}\cdot\log\ff{r_o}{r_i}
\end{split}

が導け、これより

\begin{split}
C&=\ff{l}{2k}\cdot\ff{1}{\DL{\log\ff{r_o}{r_i}}}
\end{split}

であることが分かります。ここでさらに、クーロン定数 $k$ が真空の誘電率 $\eps_0$ を用いることで $k=\DL{\ff{1}{4\pi \eps_0}}$ と表せることより、

\begin{split}
C&=\ff{2\pi \eps_0\,l}{\DL{\log\ff{r_o}{r_i}}}
\end{split}

が得られます。これより、二重円筒コンデンサーの電気容量を次のように表せます。

二重円筒コンデンサーの静電エネルギー

最後に、二重円筒コンデンサーの静電エネルギーを導出します。

静電エネルギー $U$ はこちらで説明したように、コンデンサーの電気容量を $C$、電圧を $V$ として、次のように表せました。

\begin{split}
U&=\ff{1}{2}CV^2
\end{split}

したがって、二重円筒コンデンサーの静電エネルギーが次のように計算できます。

\begin{split}
U&=\ff{1}{2}\cdot \ff{2\pi \eps_0\,l}{\DL{\log\ff{r_o}{r_i}}}\cdot V^2 \EE
&=\ff{\pi \eps_0\,l}{\DL{\log\ff{r_o}{r_i}}}\cdot V^2
\end{split}

二重円筒コンデンサーはファラデーケージの基本構造であり、帯電物体の電気量を測定する際にも利用されます。

例えば、未知の電気量 $Q$ に帯電した物体を二重円筒コンデンサーの内側に入れたとします。このとき、内側の円筒には静電誘導によって同じ電気量 $Q$ が現れます。

このように円筒に等価な電荷が現れる性質があるため、測定対象の形状が複雑であったり、粉体のように多数の物体から成る対象など、電気量の直接測定が困難な場合に有効な方法となります。