棒やはりのような基本的な形状の部材についての伸びや曲げについては既に学びました。
では、$L$字形部材やトラスのような複雑形状での伸びや曲げはどのように計算できるでしょうか？
今回は、少し複雑な形状についての伸びと曲げについて計算しましょう。
今まではたわみ曲線の微分方程式を一から解いてはりについての曲げ変形量を求めました。
ただ、今回考えるような複雑形状であっても、単純な形状に分解できる場合、微分方程式を一から解く必要はなくショートカットして答えにたどり着くことができます。
なお、今回考える形状については、たわみ角法やマトリックス法と呼ばれる解法でも解くことができます。
L字梁の曲げ
さっそく、複雑形状の変形量を計算していきましょう。
図のような$L$字型をした構造物に大きさ$P$の力（集中荷重）が働いているとします。
集中荷重が働く位置での変形量を求めてみましょう。
複雑形状であっても解き方は変わりません。
ただし、$L$字部材を単純形状に分解して、棒の伸びとはりの曲げという二つの問題に分解して解くことがポイントになります。
問題を分解した後、定石通りステップを踏んで解いて行きます。（→片持ちはりの解法）
まずは、$L$字部材を棒部分とはり部分に分割することから始めます。
なお、分割したこれらの図を自由体図と呼びます。
ステップ1：自由体図の作成
部材を棒部分とはり部分に分割して、自由体図で表すと下図のようになります。
棒部分は長さ$a$の部材として表せ、はり部分は長さ$l$の部材として分割できます。
また、棒部分のヤング率と断面積をそれぞれ$E, A$、はり部分のヤング率と断面二次モーメントをれぞれ$E, I$とします。
ステップ2：伸びの計算
最も基本的な解法では、自由体図を仮想切断面に沿って切断し、この仮想切断面での反力とモーメントを計算していきます。
さらに、計算した反力とモーメントをたわみ曲線の微分方程式に代入して丁寧に計算していくことになります。
計算量もそれなりに有り、なかなか大変なのですが、幸いなことにこれらの棒とはりの変形量については既に求めています。
つまり、今までの計算結果を流用して、先述の棒とはりの変形量の計算をショートカットして求めることができるのです。
棒部分に関する伸びを$\delta_1$、はりの$y$軸方向へのたわみ変形量の最大値を$\delta_2$とします。
このとき、それぞれの大きさは以下のように計算できるのです。
$$
\left\{
\begin{split}
\delta_1 &= \ff{Pa}{AE} \EE
\delta_2 &= \ff{Pl^3}{3EI}
\end{split}
\right.
$$
$L$字部材の先端部分での変形量$\delta$（デルタ）は$\delta = \delta_1 + \delta_2$の関係にあるため、次のように求めることができるのです。
\begin{split}
\delta &= \delta_1 + \delta_2 = \ff{Pa}{AE} + \ff{Pl^3}{3EI} \EE
\end{split}
以上より、この$L$字部材の集中荷重が働く位置での変形量は$\DL{\ff{Pa}{AE} + \ff{Pl^3}{3EI}}$と求められます。
参考記事
トラスの伸び
複数の棒状の部材を互いに軸力のみを伝えてモーメントは伝えないように連結した構造をトラスと呼びます。
モーメントを伝えないように連結することを言い換えると、部材同士が相対的に回転しても良いということです。
すなわち、トラスに荷重を加えた時、トラスを構成する部材は曲げ変形はせずに、伸び変形のみすることを意味します。
それでは、トラスの変形について具体的に計算してきましょう。
ここで、トラスを構成する部材の長さを$l$、断面積を$A$、ヤング率を$E$とします。
さらに、部材と壁が成す角度を$\theta$（シータ）とします。
トラスの先端に大きさ$P$の力が働いているとし、この力により先端が$\delta$だけ変形したとします。
なお、$\delta$は微小であるため、近似的に$\theta$は一定であると見なせます。
具体的にトラスの部材に働く力と変形を図示すると、下図のようになります。
集中荷重が働くトラス先端での様子を考えます。
このとき、右側の部材に$N_1$、左側の部材に$N_2$の大きさの力が働いているとします。
今、トラスは静止しているため、$x$軸方向と$y$軸方向に関して次のような力の釣り合い式を立てられます。
$$
\left\{
\begin{split}
&N_1\sin\left(\ff{\pi}{2}\,-\theta\right)\,-N_2\sin\left(\ff{\pi}{2}\,-\theta\right) = 0 \EE
&-N_2\cos\left(\ff{\pi}{2}\,-\theta\right)\,-N_1\cos\left(\ff{\pi}{2}\,-\theta\right) + P = 0 \EE
\end{split}
\right.
$$
第一式より、$N_1 = N_2$であることが分かります。
この結果を第二式に適用すると、次のように$N_1$と$N_2$を求められます。
\begin{split}
P&=N_2\cos\left(\ff{\pi}{2}-\theta\right)\,-N_1\cos\left(\ff{\pi}{2}\,-\theta\right) \EE
&= 2N_1\sin\theta \EE
&\qquad \therefore\,\, N_1 = N_2 = \ff{P}{2\sin\theta}
\end{split}
これより、各部材の伸びを$\lambda$（ラムダ）とすると次のように計算できます。
\begin{split}
\lambda &= \ff{N_1l}{AE} \EE
&= \ff{Pl}{2AE\sin\theta}
\end{split}
$lambda$は部材と平行方向の向きに沿った変形であるため、$\delta$と$\lambda$の間には、$\DL{\delta = \ff{\lambda}{\sin\theta}}$の幾何学的関係があることが分かります。
以上より、$\delta$は
\begin{split}
\delta &= \ff{\lambda}{\sin \theta} \EE
&= \ff{Pl}{2AE\sin^2\theta}
\end{split}
と求められます。
$\theta=\DL{\ff{\pi}{2}}$であるときトラスの伸びは最小となり、$\theta$が小さくなるにつれてトラスの伸び変形量は増大することが分かります。
フレーム構造の曲げ
最後に、下図のようなフレーム構造に大きさ$P$の力が働いているときの曲げについて考えましょう。
具体的には点$\RM{A}$での垂直方向の変位を求めます。
なお、各部分の断面二次モーメントをそれぞれ$I_1, I_2$とし、ヤング率は$E$で一定とします。
最初の$L$字梁で考えた通り、フレームを次のように二つの部分に分割します。
なお、各部分は壁に固定されていると見なします。
分割した各部分に関する変形の概要は次のようになります。
左側に関しては圧縮力による軸力と曲げモーメントが複合して働きます。
右側の部分に関しては、はりの先端に集中荷重が働いている様子と見なせます。
それでは、フレーム構造の変形量を求めていきましょう。
まず、左側の部分に関しては軸力と曲げモーメントが複合して働いています。
すなわち、軸力による圧縮変形と、曲げモーメントによる曲げ変形の二つが起きることを意味します。
これより、軸力による変形量は$\DL{\ff{Pl}{AE}}$となります。（$y$軸正方向と変形方向が一致するため）
次に曲げモーメントによる変形量を考えます。
図より、はりの先端に大きさ$M$の曲げモーメントが働いていることが分かります。
曲げモーメントの大きさに関しては、始めの図より$M=aP$の関係があることが分かります。（→モーメントとは？）
さて、自由体図を描くと分かるように、曲げモーメントはどの仮想切断面でも一定であることが分かります。
これより、たわみ曲線の微分方程式に代入すると、位置$x$におけるたわみ角$\theta(x)$は次のように求められます。
\begin{split}
\int \ff{\diff^2 v}{\diff x^2} \diff x &= \int -\ff{M}{EI_1}\diff x \EE
\theta(x) &= -\ff{Mx}{EI_1} + C_1
\end{split}
ただし、$C_1$を積分定数とします。
いま、地面に座標の原点を取ると、$\theta(0) = 0$であるため$C_1=0$であることが分かります。
よって、$x=l$でのたわみ角$\theta_1$は$\DL{\ff{Ml}{EI_1}$であることが分かります。
次に、右側の部分に関しての曲げ変形量を考えます。
この部分は片持ち梁の問題と考えることができるため、$\RM{A}$点での変形量は$\DL{\ff{Pa^3}{3EI_2}}$となることが分かります。
ただし、このはりは根本部分が$\theta_1$だけ傾いているため、$\RM{A}$点は$a\theta_1$だけ追加で移動しています。
以上より、$\RM{A}$点での変形量は次のように求められます。
\begin{split}
\delta &= \delta_1 + \theta_1 a + \delta_2 \EE
&= \ff{Pl}{AE} + \ff{Ma^2l}{EI_1} + \ff{Pa^3}{3EI_2}
\end{split}
ただし、軸力による変位量を$\delta_1$、集中荷重による曲げ変形量を$\delta_2$とします。
