梁の曲げに対する剛性を定量的に表すパラメータを断面二次モーメントと呼びます。
断面二次モーメントが大きくなるほど梁は荷重に対して強くなり、曲げ変形量は小さくなります。
今回は断面二次モーメントの定義とその具体的な計算方法について解説します。
断面二次モーメントの定義
梁に働く曲げモーメント$M$を計算すると、次のように表現できることはこちらで解説しました。
\begin{eqnarray}
M &=& \ff{E}{R}\int y^2 \,\diff A
\end{eqnarray}
ただし、$E$をヤング率、$R$を梁の曲率半径とします。
このとき、断面二次モーメント$I$を次のように定義します。
\begin{eqnarray}
I &\DEF& \int y^2 \,\diff A \EE
\,
\end{eqnarray}
断面二次モーメントで使われる変数を図示すると、次のようになります。
断面二次モーメントは、縦方向の長さと、そのときの断面積により決まるパラメータであることが分かります。
なお、断面二次モーメントの定義式には積分区間が示されていませんが、これは中立面を原点として設定した座標軸で考えることとします。
長方形断面の断面二次モーメント
早速、長方形断面の梁の断面二次モーメントを実際に計算してみましょう。
このとき、長方形断面の縦の長さを$h$、横幅を$b$とします。
座標軸は中立面を原点として縦方向に対して$y$軸、横幅に対して$x$軸を設定します。（→中立面とは？）
図より、$\diff A=b\diff y$ と表せることが分かります。
断面二次モーメントを計算する際には、断面の中立面から計算を行います。
以上より、次のように断面二次モーメントを計算できます。
\begin{eqnarray}
I &=& \int y^2 \,\diff A \EE
&=& \int_{-\ff{h}{2}}^{\ff{h}{2}}y^2 b\,\diff y \EE
&=& b\left[ \ff{1}{3}y^3 \right]_{-\ff{h}{2}}^{\ff{h}{2}} \EE
&=& \ff{bh^3}{12}
\end{eqnarray}
縦の長さが$b$、横幅が$h$の長方形断面を持つ梁の断面二次モーメント$I$は次のように表される。
\begin{eqnarray}
I = \ff{bh^3}{12} \\
\,
\end{eqnarray}
計算結果から分かるように、断面二次モーメントは長さの4乗の次元を持つことが分かります。
断面二次モーメントの特性
長方形断面の梁についての断面二次モーメントの計算結果より、縦の長さ$b$と横幅の長さ$h$により、断面二次モーメントの大きさが決まることが分かります。
また、断面二次モーメントは横幅の3乗で効いてくることから、梁の置き方により断面二次モーメントが変化することが分かります。
これは注目に値する性質です。部材の置き方を工夫することで重量を変えることなく製品の強度を向上させられるのです。
梁の置き方により、断面二次モーメントが変化することを実際に示します。
$b=4, h=3$として、$I_1, I_2$を実際に計算すると次のようになります。
\begin{eqnarray}
I_1 &=& \ff{bh^3}{12} = \ff{4\cdot3^3}{12} = 9 \EE
I_2 &=& \ff{hb^3}{12} = \ff{3\cdot4^3}{12} = 16
\end{eqnarray}
これより、$I_1 < I_2$となり、断面二次モーメントが置き方により変化することが分かります。
さて、片持ち梁先端での変形量は次のように表せることが知られています。
\begin{eqnarray}
v &=& \ff{Pl^3}{3EI} \EE
\end{eqnarray}
この式から分かるように、断面二次モーメントが大きいほど先端での変形量は小さくなります。
このように、梁の設置方法によって断面二次モーメントが変化することを覚えておくと、日常のちょっとした知恵や設計の知識として活用することができるでしょう。
※ 断面二次モーメントは曲げに対する強度を表す指標であるため、曲げ剛性とも呼ばれます。
H形鋼の断面二次モーメント
梁のたわみを小さくするには梁の断面二次モーメントを大きくすれば良いと言えます。
設計者は断面二次モーメントがなるべく大きくなるように部材を配置します。
また、コストの問題や重量の問題から、なるべく材料は節約したいと考えます。
要するに断面二次モーメントが大きく、かつ軽量な部材に対してのニーズは大きいのです。
このようなニーズの中で、H形鋼というものが考案されました。
そこで、H形鋼の断面二次モーメントを計算し、どの程度の軽量化が達成できているのかを見ていきましょう。
始めに、一辺の長さが$H$の正方形断面を持つ梁の断面二次モーメントは先程の計算結果から、
\begin{eqnarray}
I_1 &=& \ff{H^4}{12}
\end{eqnarray}
となることは良いでしょう。
問題となるのは、図のような断面を持つH形鋼の断面二次モーメントの計算です。
$H$形鋼の断面二次モーメントの計算方法はいくつかありますが、正方形断面の断面二次モーメントから、取り去った分の部材の断面二次モーメントを差し引く方法で求めます。
この方法で計算すると、次のようにH形鋼の断面二次モーメントを計算できます。
\begin{eqnarray}
I_H &=& \ff{H^4}{12}\,-2\times\ff{b_1h_1^3}{12} \EE
&=& \ff{H^4}{12}\,-\ff{b_1h_1^3}{6}
\end{eqnarray}
$H=12, b_1 = 4, h_1 = 6$として、$I_1$と$I_H$の断面二次モーメントを実際に計算してみると、
\begin{eqnarray}
I_1 &=& \ff{H^4}{12}= 1728 \EE
I_H &=& \ff{H^4}{12}\,-\ff{b_1h_1^3}{6} = 1584
\end{eqnarray}
となります。
$H$形鋼の断面積は元の断面の約$67\, \RM{\%}$の大きさしかありませんが、断面二次モーメントの約$92\, \RM{\%}$の大きさであり、材料の節約と断面二次モーメントの両立が達成できていることが分かります。
$b_1$と$h_1$の最適な値について興味のある方を計算してみると良いでしょう。
参考記事
