前回、ナビエの微分方程式の導出を行いました。
ナビエの微分方程式は、力の釣り合い式（平衡方程式）とフックの法則より導出される方程式で、変位と作用する力に関する方程式です。
力が分かっているとき、ナビエの微分方程式を解くことで弾性体の変位量を求めることができます。
では、ひずみと応力だけを使って平衡方程式とフックの法則を同時に満たすような方程式（適合条件式）を導出できるのでしょうか？
今回はこのことについて考えていきます。
ひずみの適合条件式は次のように表せる。
\begin{split}
\varepsilon_{ij, kl}+\varepsilon_{kl, ij}\,-\varepsilon_{jk, li}\,-\varepsilon_{li, jk}=0 \\
\,
\end{split}
応力の適合条件式は次のように整理できる。
\begin{split}
\nabla^2 \sigma_{ij}+\ff{3}{1+\nu}\sigma_{m,ij} = -\ff{\nu}{1-\nu}\delta_{ij}F_{k,k}\,-(F_{i,j}+F_{j,i})
\end{split}
ただし、$\delta_{ij}$ をクロネッカーのデルタとする。
なお、ひずみの適合条件式を導くモチベーションの一つとして、Airyの応力関数の導出があります。
ひずみの定義式
変位を$u_x, u_y, u_z$とし、ひずみを$\varepsilon_{xx}$（イプシロン）のように表すとすると、ひずみは次のように定義されました。（→変位とひずみの添え字の約束について）
変位$u_i$を用いてひずみ$\varepsilon_{ij}$を次のように定義する。
$$
\left\{
\begin{split}
&\varepsilon_{xx} = \ff{\del u_x}{\del x} \EE
&\varepsilon_{yy} = \ff{\del u_y}{\del y} \EE
&\varepsilon_{zz} = \ff{\del u_z}{\del z} \EE
&\varepsilon_{xy} = \varepsilon_{yx} = \ff{1}{2}\left(\ff{\del u_x}{\del y} + \ff{\del u_y}{\del x} \right) \EE
&\varepsilon_{yz} = \varepsilon_{zy} = \ff{1}{2}\left(\ff{\del u_y}{\del z} + \ff{\del u_z}{\del y} \right) \EE
&\varepsilon_{zx} = \varepsilon_{xz} = \ff{1}{2}\left(\ff{\del u_z}{\del x} + \ff{\del u_x}{\del z} \right)
\end{split}
\right.
$$
この定義式から変位$u_i$ を消去することを考えます。
まず、$\varepsilon_{xy}$に関して両辺を$x$と$y$で偏微分すると次のようになります。
\begin{split}
2\ff{\del^2 \varepsilon_{xy}}{\del x\del y} = \ff{\del^2}{\del x\del y}\left(\ff{\del u_x}{\del y}\right) + \ff{\del^2}{\del x\del y}\left(\ff{\del u_y}{\del x} \right) \EE
\end{split}
この式の偏微分の順序を交換すると、
\begin{split}
&2\ff{\del^2 \varepsilon_{xy}}{\del x\del y} = \ff{\del^2}{\del^2 y}\left(\ff{\del u_x}{\del x}\right) + \ff{\del^2}{\del^2 x}\left(\ff{\del u_y}{\del y} \right) \EE
&\quad \therefore\,\,\, \ff{\del^2 \varepsilon_{xx}}{\del^2 y} + \ff{\del^2 \varepsilon_{yy}}{\del^2 x} = 2\ff{\del^2 \varepsilon_{xy}}{\del x\del y}
\end{split}
となります。
さらに、$\varepsilon_{xy}$を$x, z$、$\varepsilon_{zx}$を$x, y$で偏微分すると、次のようになります。
$$
\left\{
\begin{split}
&2\ff{\del^2 \varepsilon_{xy}}{\del x\del z} = \ff{\del^2 \varepsilon_{xx}}{\del y \del z} + \ff{\del^2 }{\del x \del z}\left( \ff{\del u_y}{\del x} \right) \EE
&2\ff{\del^2 \varepsilon_{zz}}{\del x\del y} = \ff{\del^2 \varepsilon_{xx}}{\del y \del z} + \ff{\del^2 }{\del y \del x}\left( \ff{\del u_z}{\del x} \right) \EE
\end{split}
\right.
$$
これらの式を足し合わせて整理すると、次のような式が得られます。
\begin{split}
\ff{\del }{\del x}\left( \,-\ff{\del \varepsilon_{yz}}{\del x} + \ff{\del \varepsilon_{zx}}{\del y} + \ff{\del \varepsilon_{xy}}{\del z} \right) \,- \ff{\del^2 \varepsilon_{xx}}{\del y \del z} = 0
\end{split}
ひずみの適合条件式
先程求めた式についてより深く考えるため、アインシュタインの総和規約を導入して、ひずみの定義式を記述し直します。
アインシュタインの総和規約を用いると、ひずみの定義式は次のような一本の式で表せます。
\begin{split}
\varepsilon_{ij} = \ff{1}{2}\left( \ff{\del u_i}{\del x_j} + \ff{\del u_j}{\del x_i} \right) \\
\,
\end{split}
これにより、ずいぶん見通しが良くなりました。
先ほどの計算に倣って二階偏微分を考えると、
\begin{split}
\ff{\del^2 \varepsilon_{ij}}{\del x_k \del x_l} = \ff{1}{2}\ff{\del^2}{\del x_k \del x_l}\left( \ff{\del u_i}{\del x_j} + \ff{\del u_j}{\del x_i} \right)
\end{split}
となり、
ここで、$\DL{\ff{\del f_i}{\del x_j} = f_{i,j}}$ と表すとすると、先の式は次のように簡潔に表現できます。
\begin{split}
\varepsilon_{ij, kl} = \ff{1}{2}(u_{i,jkl}+u_{j,ikl})
\end{split}
これらの添え字（インデックス）を動かすと以下の一連の式が得られます。
$$
\left\{
\begin{split}
\varepsilon_{ij, kl} = \ff{1}{2}(u_{i,jkl}+u_{j,ikl}) \EE
\varepsilon_{jk, li} = \ff{1}{2}(u_{j,kli}+u_{k,jli}) \EE
\varepsilon_{kl, ij} = \ff{1}{2}(u_{k,lij}+u_{l,kij}) \EE
\varepsilon_{li, jk} = \ff{1}{2}(u_{l,ijk}+u_{i,ljk}) \EE
\end{split}
\right.
$$
最後に足し算と引き算を上手く組み合わせてこれらの式を計算すると、以下の式が得られるのです。（偏微分を入れ替えられることも利用しています）
\begin{split}
\varepsilon_{ij, kl}+\varepsilon_{kl, ij}\,-\varepsilon_{jk, li}\,-\varepsilon_{li, jk}=0
\end{split}
変位$u_i$ を消去して、ひずみのみを使ってひずみの定義式を表すことに成功しました。
この関係式はひずみの適合条件式と呼ばれています。
アインシュタインの総和規約を用いて、ひずみの適合条件式は次のように表せる。
\begin{split}
\varepsilon_{ij, kl}+\varepsilon_{kl, ij}\,-\varepsilon_{jk, li}\,-\varepsilon_{li, jk}=0 \\
\,
\end{split}
適合条件式は合計$81$本存在しますが、重複を除くと次の$6$本の式となります。
具体的に書き下すと、次の一連の式となります。
$$
\left\{
\begin{split}
&2\ff{\del^2 \varepsilon_{xy}}{\del x \del y}\,-\ff{\del^2 \varepsilon_{xx}}{\del y^2}\,-\ff{\del^2 \varepsilon_{yy}}{\del x^2} =0 \EE
&2\ff{\del^2 \varepsilon_{yz}}{\del y \del z}\,-\ff{\del^2 \varepsilon_{yy}}{\del z^2}\,-\ff{\del^2 \varepsilon_{zz}}{\del y^2} =0 \EE
&2\ff{\del^2 \varepsilon_{zx}}{\del z \del x}\,-\ff{\del^2 \varepsilon_{zz}}{\del x^2}\,-\ff{\del^2 \varepsilon_{xx}}{\del z^2} =0 \EE
&\ff{\del}{\del x}\left( -\ff{\del \varepsilon_{yz}}{\del x}+\ff{\del \varepsilon_{zx}}{\del y} +\ff{\del \varepsilon_{xy}}{\del z} \right) \,- \ff{\del^2 \varepsilon_{xx}}{\del y \del z} = 0 \EE
&\ff{\del}{\del y}\left( \ff{\del \varepsilon_{yz}}{\del x}\,-\ff{\del \varepsilon_{zx}}{\del y} +\ff{\del \varepsilon_{xy}}{\del z} \right) \,- \ff{\del^2 \varepsilon_{yy}}{\del z \del x} = 0 \EE
&\ff{\del}{\del z}\left( \ff{\del \varepsilon_{yz}}{\del x}+\ff{\del \varepsilon_{zx}}{\del y} \,-\ff{\del \varepsilon_{xy}}{\del z} \right) \,- \ff{\del^2 \varepsilon_{zz}}{\del x \del y} = 0
\end{split}
\right.
$$
応力とひずみ
ひずみの適合条件式のように、応力のみで表された適合条件式を導出していきます。
まず、1番目のひずみの適合条件式から考えます。
\begin{split}
2\ff{\del^2 \varepsilon_{xy}}{\del x \del y}\,-\ff{\del^2 \varepsilon_{xx}}{\del y^2}\,-\ff{\del^2 \varepsilon_{yy}}{\del x^2} =0 \EE
\end{split}
一般化フックの法則より、この適合条件式は応力を使って次のように表せます。
\begin{split}
&\ff{\del^2 }{\del x \del y}\left( G\sigma_{xy} \right) \,-\ff{1}{E}\ff{\del^2 }{\del^2 y} \Big\{ \sigma_{xx} -\nu(\sigma_{yy} + \sigma_{zz}) \Big\}\EE
&\quad\qquad\qquad\qquad\,-\ff{1}{E}\ff{\del^2 }{\del^2 x} \Big\{ \sigma_{yy} -\nu(\sigma_{zz} + \sigma_{xx}) \Big\} = 0\EE
\therefore\,\,\,&\ff{\del^2 \sigma_{xx}}{\del y^2}+\ff{\del^2 \sigma_{yy}}{\del x^2}\,-\ff{3\nu}{1+\nu}\left( \ff{\del^2 \sigma_m}{\del^2 x}+\ff{\del^2 \sigma_m}{\del^2 y} \right)
= 2\ff{\del^2 \sigma_{xy}}{\del x\del y} \EE
\end{split}
ただし $\DL{\sigma_m = \ff{1}{3}(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz} ) }$とし、横弾性係数$G$はヤング率$E$を使って$G=\DL{\ff{E}{2(1+\nu)}}$と表せることを利用しています。
※ $\nu$（ニュー）はポアソン比を表します。
ところで、応力の釣り合い方程式（平衡方程式）の第1式を$x$、第2式を$y$、第3式を$z$で偏微分した式は次のようになります。
$$
\left\{
\begin{split}
&\ff{\del^2 \sigma_{xx}}{\del x^2} + \ff{\del^2 \sigma_{xy}}{\del x\del y} + \ff{\del^2 \sigma_{zx}}{\del x\del z} + \ff{\del F_x}{\del x} = 0 \EE
&\ff{\del^2 \sigma_{xy}}{\del x\del y} + \ff{\del^2 \sigma_{yy}}{\del y^2} + \ff{\del^2 \sigma_{zy}}{\del y\del z} + \ff{\del F_y}{\del y} = 0 \EE
&\ff{\del^2 \sigma_{zx}}{\del x\del z} + \ff{\del^2 \sigma_{zy}}{\del y\del z} + \ff{\del^2 \sigma_{zz}}{\del z^2} + \ff{\del F_z}{\del z} = 0 \EE
\end{split}
\right.
$$
第１式と第２式の和から第３式を引くと、次の式が得られます。
\begin{split}
2\ff{\del^2 \sigma_{xy}}{\del x\del y}=-\left( \ff{\del^2 \sigma_{xx}}{\del x^2}+ \ff{\del^2 \sigma_{yy}}{\del y^2}\,- \ff{\del^2 \sigma_{zz}}{\del z^2} \right)-\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}\,-\ff{\del F_z}{\del z} \right)
\end{split}
この式を先程の式に適用し整理すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\ff{3}{1+\nu}\left( \nabla^2 \sigma_m \,- \ff{\del^2 \sigma_m}{\del z^2} \right)-\nabla^2 \sigma_{zz} = -\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}\,-\ff{\del F_z}{\del z} \right) \tag{1}
\end{eqnarray}
※ 上式で$\nabla$（ナブラ）と$\nabla^2$（ラプラシアン）と呼ばれる記号を用いています。詳しくはこちらで解説しています。
応力の適合条件式
１番目のひずみの適合条件式を応力を使って書き換えることで、式(1)が導出できました。
同様のことを２、３番目の適合条件式に行うと、次の式が得られます。
$$
\left\{
\begin{split}
&\ff{3}{1+\nu}\left( \nabla^2 \sigma_m \,- \ff{\del^2 \sigma_m}{\del x^2} \right)-\nabla^2 \sigma_{xx} = -\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_z}{\del z} \right) \EE
&\ff{3}{1+\nu}\left( \nabla^2 \sigma_m \,- \ff{\del^2 \sigma_m}{\del y^2} \right)-\nabla^2 \sigma_{yy} = -\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_z}{\del z} \right)
\end{split}
\right.
$$
これら３つの式を足し合わせると、
\begin{split}
&\ff{9}{1+\nu}\nabla^2 \sigma_m\,- \ff{3}{1+\nu}\left( \ff{\del^2 \sigma_m}{\del x^2}+\ff{\del^2 \sigma_m}{\del y^2}+\ff{\del^2 \sigma_m}{\del z^2} \right) \EE
&\qquad\qquad -(\nabla^2 \sigma_{xx}+\nabla^2 \sigma_{yy}+\nabla^2 \sigma_{zz})=-\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_z}{\del z} \right)\EE
&\qquad\ff{6}{1+\nu}\nabla^2 \sigma_m -3\nabla^2 \sigma_m =-\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_z}{\del z} \right) \EE
&\quad\qquad \therefore\,\,\, \ff{3(1-\nu)}{1+\nu}\nabla^2 \sigma_m = -\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_z}{\del z} \right)
\end{split}
となります。
この結果を式(1)に代入すると、
\begin{split}
-\nabla^2 \sigma_{zz}\,-\ff{3}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del z^2} &= \,-\ff{3}{1+\nu}\nabla^2 \sigma_m -\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}\,-\ff{\del F_z}{\del z} \right) \EE
&= \ff{1}{1-\nu}\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_z}{\del z} \right)\EE
&\qquad\qquad \,-\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}\,-\ff{\del F_z}{\del z} \right) \EE
&= \ff{\nu}{1-\nu}\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_z}{\del z} \right)+2\ff{\del F_z}{\del z} \EE
\end{split}
このように応力の平均値$\sigma_m$と体積力$F_i$との関係が得られました。
１番目から３番目までのひずみの適合条件式を同様に計算することで、以下の三つの式が導けます。
$$
\left\{
\begin{split}
\nabla^2 \sigma_{xx}+\ff{3}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del x^2}
&= \ff{-\nu}{1-\nu}\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_x}{\del x} \right)\,-2\ff{\del F_x}{\del x} \EE
\nabla^2 \sigma_{yy}+\ff{3}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del y^2}
&= \ff{-\nu}{1-\nu}\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_x}{\del x} \right)\,-2\ff{\del F_y}{\del y} \EE
\nabla^2 \sigma_{zz}+\ff{3}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del z^2}
&= \ff{-\nu}{1-\nu}\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_z}{\del z} \right)\,-2\ff{\del F_z}{\del z} \EE
\end{split}
\right.
$$
適合条件式の内、第１から第３式までを応力を使って表すことに成功しました。
次に、４番目の式を応力により表すことを考えます。
同様に一般化フックの法則を使うと、第４式は次のように変形できます。
\begin{split}
&\ff{1}{2G}\ff{\del}{\del x}\left( -\ff{\del \sigma_{yz}}{\del x}+\ff{\del \sigma_{zx}}{\del y} +\ff{\del \sigma_{xy}}{\del z} \right) \EE
&\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \,- \ff{1}{E}\ff{\del^2 }{\del y \del z}\Big\{ \sigma_{xx} -\nu(\sigma_{yy} + \sigma_{zz}) \Big\} = 0 \EE
\therefore\,\,\, &\ff{\del^2 \sigma_{xx}}{\del y \del z}\,-\ff{3\nu}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del y \del z} = -\ff{\del}{\del x}\left( -\ff{\del \sigma_{xx}}{\del x}+\ff{\del \sigma_{zx}}{\del y} +\ff{\del \sigma_{xy}}{\del z} \right)
\end{split}
この結果に対して平衡方程式を適用し整理すると、
\begin{split}
\nabla^2 \sigma_{yz} + \ff{3\nu}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del y \del z} = -\left( \ff{\del F_z}{\del y}+\ff{\del F_y}{\del z} \right)
\end{split}
と求めることができます。
同様にして、第5式と第6式は、
$$
\left\{
\begin{split}
\nabla^2 \sigma_{zx} + \ff{3\nu}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del z \del x} = -\left( \ff{\del F_x}{\del z}+\ff{\del F_z}{\del x} \right) \EE
\nabla^2 \sigma_{xy} + \ff{3\nu}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del x \del y} = -\left( \ff{\del F_y}{\del x}+\ff{\del F_x}{\del y} \right)
\end{split}
\right.
$$
と求めることができます。
以上の結果をまとめると、次のように応力の適合条件式を導けます。
応力の適合条件式は次のように表せる。
$$
\left\{
\begin{split}
&\nabla^2 \sigma_{xx}+\ff{3}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del x^2}
= \ff{-\nu}{1-\nu}\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_x}{\del x} \right)\,-2\ff{\del F_x}{\del x} \EE
&\nabla^2 \sigma_{yy}+\ff{3}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del y^2}
= \ff{-\nu}{1-\nu}\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_x}{\del x} \right)\,-2\ff{\del F_y}{\del y} \EE
&\nabla^2 \sigma_{zz}+\ff{3}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del z^2}
= \ff{-\nu}{1-\nu}\left( \ff{\del F_x}{\del x}+\ff{\del F_y}{\del y}+\ff{\del F_z}{\del z} \right)\,-2\ff{\del F_z}{\del z} \EE
&\nabla^2 \sigma_{xy} + \ff{3\nu}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del x \del y} = -\left( \ff{\del F_y}{\del x}+\ff{\del F_x}{\del y} \right) \EE
&\nabla^2 \sigma_{yz} + \ff{3\nu}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del y \del z} = -\left( \ff{\del F_z}{\del y}+\ff{\del F_y}{\del z} \right) \EE
&\nabla^2 \sigma_{zx} + \ff{3\nu}{1+\nu}\ff{\del^2 \sigma_m}{\del z \del x} = -\left( \ff{\del F_x}{\del z}+\ff{\del F_z}{\del x} \right)
\end{split}
\right.
$$
Beltrami-Michellの適合条件式
応力の適合条件式を導出できましたが、見ての通り分かりにくいため、アインシュタインの総和規約を使って簡潔に表すことを考えます。
まず、応力の適合条件式の左辺に関しては共通した形が現れているで、アインシュタインの総和規約より次のように表せます。
\begin{split}
\nabla^2 \sigma_{ij}+\ff{3}{1+\nu}\sigma_{m,ij}
\end{split}
問題は右辺の表記ですが、クロネッカーのデルタと呼ばれる記号を導入することで解決できます。
$i,j=1,2,\cdots,n$ に対してクロネッカーのデルタ $\delta_{ij}$ を次のように定義する。
$$
\delta_{ij}=
\left\{
\begin{split}
1\qquad (i=j) \EE
0\qquad (i\neq j)
\end{split}
\right.
$$
クロネッカーのデルタを使うと、右辺を次のように書き下せます。
\begin{split}
-\ff{\nu}{1-\nu}\delta_{ij}F_{k,k}\,-(F_{i,j}+F_{j,i})
\end{split}
以上、両辺を併せると、応力の適合条件式から
\begin{split}
\nabla^2 \sigma_{ij}+\ff{3}{1+\nu}\sigma_{m,ij} = -\ff{\nu}{1-\nu}\delta_{ij}F_{k,k}\,-(F_{i,j}+F_{j,i})
\end{split}
という式が得られます。
この式は、Beltrami-Michellの適合条件式とも呼ばれます。
応力の適合条件式は次のように整理できる。
\begin{split}
\nabla^2 \sigma_{ij}+\ff{3}{1+\nu}\sigma_{m,ij} = -\ff{\nu}{1-\nu}\delta_{ij}F_{k,k}\,-(F_{i,j}+F_{j,i}) \\
\,
\end{split}
適合条件式を導出した理由
今回はひたすら式変形を行っていきました。
目的が分からないと何のために面倒な式変形を行っているのか疑問に思うでしょう。
目的は２つあります。
１つ目の目的はひずみ（応力）を完全に定めるためです。
ひずみは $6$ 個あるのに対して、変位は $3$ 個しかないため複数の解の候補が存在します。それでは困るため、ひずみの解が一つに定まるよう適合条件式を導出したのです。
２つ目の目的は、Airyの応力関数の導出を目指すためです。
Airyの応力関数についての解説は次回に詳しく行いますが、Airyの応力関数を利用することで、今まで導出してきた曲げ変形の公式やねじりの公式、薄肉円筒の応力分布を導くとができるのです。
Airyの応力関数は、今回導出した適合条件式を利用して導きます。
