しかし、垂直応力やせん断応力には不思議な性質があります。
それは、応力の大きさが考える断面により変わるということです。
断面を変えるということを数学的に表現すると、座標系を回転させることに相当します。
座標系を回転させたとき、応力がどのように表されるかについて検討すると、次のような断面で垂直応力やせん断応力が最大となることを導けます。
これらの応力やせん断応力を、主応力や主せん断応力と呼びます。
$xy$座標系において垂直応力とせん断応力が$\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$と表せるとき、主応力$\sigma_1, \sigma_2$は次のように計算される。
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
\sigma_1 &=& \DL{\ff{\sigma_x+\sigma_y}{2}} + \DL{\sqrt{\left( \ff{\sigma_x\,-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}} \EE
\sigma_2 &=& \DL{\ff{\sigma_x+\sigma_y}{2}} \,- \DL{\sqrt{\left( \ff{\sigma_x\,-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}} \EE
\end{eqnarray}
\right.
$$
$xy$座標系において垂直応力とせん断応力が$\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$と表せるとき、主せん断応力$\tau_{max}$は次のように計算される。
\begin{eqnarray}
\tau_{max} &=&\pm \sqrt{\left( \ff{\sigma_x\,-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 } \EE
&=& \pm\ff{\sigma_1\,-\sigma_2}{2}
\end{eqnarray}
なお、垂直応力$\sigma$は$0$ではなく、主応力$\sigma_1$と$\sigma_2$の平均値としてして次のように表される。
\begin{eqnarray}
\bar{\sigma} = \ff{\sigma_1+\sigma_2}{2} \\
\,
\end{eqnarray}
今回は、主応力と最大せん断応力がどのように導出されるのかについて解説します。
応力の座標変換
始めに$xy$座標で表した応力が、$\theta$回転させた座標系でどのように変化するのかについて考えます。
応力の座標変換と言うと難しく感じますが、本質的には力の釣り合いを考えます。
図のように一辺が$\diff x, \diff y, \diff s$の直角三角形のそれぞれの辺に、$\sigma_{y}, \tau_{yx}$などの応力が働いているとします。
この直角三角形は静止しているため、力の釣り合いを考えることができ、
まず、$x$軸方向に関しては、
\begin{eqnarray}
(\sigma\cos\theta \,- \tau\sin\theta)\diff s -(\sigma_x\diff y + \tau_{yx}\diff x) = 0 \end{eqnarray}
となり、$y$軸方向に関しては、
\begin{eqnarray}
(\sigma\sin\theta + \tau\cos\theta)\diff s -(\tau_{xy}\diff y + \sigma_y\diff x) = 0
\end{eqnarray}
となります。
$\diff x = \sin \theta\diff s, \diff y = \cos\theta\diff s$であることに留意して上式達を整理すると、
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
(\sigma\cos\theta \,- \tau\sin\theta)\diff s &=& (\sigma_x\cos\theta + \tau_{yx}\sin\theta)\diff s \EE\\
(\sigma\sin\theta + \tau\cos\theta)\diff s &=& (\tau_{xy}\cos \theta + \sigma_y\sin\theta)\diff s
\end{eqnarray}
\right.\tag{1}
$$
とできて、式(1)を行列により整理すると、
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \EE
\sin\theta & \cos\theta \EE
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma \EE
\tau \EE
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{yx} \EE
\tau_{xy} &\sigma_y \EE
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos\theta \EE
\sin\theta \EE
\end{bmatrix}\tag{2}
\end{eqnarray}
となります。
左辺の行列の逆行列は
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \EE
\sin\theta & \cos\theta \EE
\end{bmatrix}^{-1}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \EE
-\sin\theta & \cos\theta \EE
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
であり、式(2)の両辺に掛けると、
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \EE
0 & 1 \EE
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma \EE
\tau \EE
\end{bmatrix}
&=&
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \EE
-\sin\theta & \cos\theta \EE
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{yx} \EE
\tau_{xy} &\sigma_y \EE
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos\theta \EE
\sin\theta \EE
\end{bmatrix}
\EE
\begin{bmatrix}
\sigma \EE
\tau \EE
\end{bmatrix}
&=&
\begin{bmatrix}
\sigma_x\cos^2\theta + \sigma_y\sin^2\theta +\tau_{xy}\cos\theta\sin\theta+\tau_{yx}\cos\theta\sin\theta \EE
-\sigma_x\cos\theta\sin\theta +\sigma_y\cos\theta\sin\theta+ \tau_{xy}\cos^2\theta-\tau_{yx}\sin^2\theta \EE
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
と計算できます。
このとき、応力の対称性より$\tau_{xy} = \tau_{yx}$が成立し、
\begin{eqnarray}
\cos^2\theta\,-\sin^2\theta &=& \cos2\theta \EE
2\cos\theta\sin\theta=\sin2\theta
\end{eqnarray}
であることも利用すると、
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
\sigma \EE
\tau \EE
\end{bmatrix}
&=&
\begin{bmatrix}
\sigma_x\cos^2\theta + \sigma_y\sin^2\theta +\tau_{xy}\sin2\theta \EE
\DL{-\ff{\sigma_x-\sigma_y}{2}}\sin2\theta+ \tau_{xy}\cos2\theta\EE
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
となります。
ここで、
\begin{eqnarray}
\sigma_x\cos^2\theta + \sigma_y\sin^2\theta &=& \ff{1+\cos 2\theta}{2}\sigma_x+\ff{1-\cos 2\theta}{2}\sigma_y\EE
&=& \ff{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\ff{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta
\end{eqnarray}
の関係が成立するため、
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
\sigma \EE
\tau \EE
\end{bmatrix}
&=&
\begin{bmatrix}
\DL{\ff{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\ff{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta+\sin2\theta\tau_{xy}} \EE
\DL{-\ff{\sigma_x-\sigma_y}{2}}\sin2\theta+ \cos2\theta\tau_{xy}\EE
\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
と整理できます。
$xy$座標系において垂直応力とせん断応力が$\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$であるとき、法線が、$x$軸と反時計回りに角度$\theta$を成す面に働く垂直応力$\sigma$とせん断応力$\tau$は次のように表される。
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
\sigma &=& \DL{\ff{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\ff{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin2\theta} \EE
\tau &=& \DL{-\ff{\sigma_x-\sigma_y}{2}}\sin2\theta+ \tau_{xy}\cos2\theta \EE
\end{eqnarray}
\right.
$$
主応力と最大せん断応力
先程の結果から、垂直応力とせん断応力は回転角$\theta$の関数で表されることが分かりました。
では、どんな角度で応力が最大になるのかについて計算しましょう。
主応力
$\sigma$を$\theta$で微分すると、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff \sigma}{\diff \theta} &=& -(\sigma_x-\sigma_y)\sin 2\theta+2\tau_{xy}\cos2\theta \EE
\end{eqnarray}
となり、関数の極値にて応力は最大値（最小値）となるので、極値を与える角度$\theta_n$は次のように計算でき、
\begin{split}
0 &= -(\sigma_x-\sigma_y)\sin 2\theta_n+2\tau_{xy}\cos2\theta_n \EE\\
&\qquad \therefore\quad \tan2\theta_n = \ff{2\tau_{xy}}{\sigma_x\,-\sigma_y}
\end{split}
で表せます。
ただし、$\sigma$が極値となる$\theta$を$\theta_n$で表すとします。
三角関数の公式より、
\begin{split}
1 + \tan^2 2\theta &=& \ff{1}{\cos^2 2\theta} \EE
\end{split}
であるので、
\begin{split}
\cos2\theta_n &=& \pm\ff{\sigma_x \,- \sigma_y}{\sqrt{(\sigma_x-\sigma_y)^2 + 4\tau_{xy}^2}} \EE
\end{split}
と求められ、これより、
\begin{split}
\sin2\theta_n &=& \pm\ff{2\tau_{xy}}{\sqrt{(\sigma_x-\sigma_y)^2 + 4\tau_{xy}^2}} \EE
\end{split}
となります。
これを$\sigma$の関数に代入すると、
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
\sigma_1 &=& \DL{\ff{\sigma_x+\sigma_y}{2}} + \DL{\sqrt{\left( \ff{\sigma_x\,-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}} \EE
\sigma_2 &=& \DL{\ff{\sigma_x+\sigma_y}{2}} \,- \DL{\sqrt{\left( \ff{\sigma_x\,-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}} \EE
\end{eqnarray}
\right.
$$
と求められます。
なお、垂直応力の最大値を$\sigma_1$、最小値を$\sigma_2$とします。
それぞれの応力は$\sigma$の極値となるので、$\sigma_1, \sigma_2$を主応力と呼びます。
また、主応力が生じる面を主応力面と呼び、主応力面の法線を主軸（主応力軸）と呼びます。
$xy$座標系において垂直応力とせん断応力が$\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$と表せるとき、主応力$\sigma_1, \sigma_2$は次のように計算ｓされる。
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
\sigma_1 &=& \DL{\ff{\sigma_x+\sigma_y}{2}} + \DL{\sqrt{\left( \ff{\sigma_x\,-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}} \EE
\sigma_2 &=& \DL{\ff{\sigma_x+\sigma_y}{2}} \,- \DL{\sqrt{\left( \ff{\sigma_x\,-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}} \EE
\end{eqnarray}
\right.
$$
また、主応力面ではせん断応力は$0$となります。（$\theta_n$を代入して$\tau$を計算すると、$\tau = 0$となります。）
主せん断応力
次に$\DL{\ff{\diff \tau}{\diff \theta}=0}$を計算すると、
\begin{eqnarray}
0 &=& \ff{\diff \tau}{\diff \theta} \EE
&=& -(\sigma_x \,- \sigma_y)\cos2\theta \,- 2\tau_{xy}\sin2\theta
\end{eqnarray}
となって、この式を満たす角度を$\theta_t$とすると、
\begin{eqnarray}
\tan2\theta_t = -\ff{\sigma_x \,- \sigma_y}{2\tau_{xy}}
\end{eqnarray}
となり、
先程と同様に$\cos2\theta_t, \sin2\theta_t$を計算して$\tau$の式に代入すると、$\tau$を次のように求められます。
\begin{eqnarray}
\tau_{max} &=&\pm \sqrt{\left( \ff{\sigma_x\,-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 } \EE
&=& \pm\ff{\sigma_1\,-\sigma_2}{2}
\end{eqnarray}
このとき、せん断応力は最大（最小）となるため、主せん断応力と呼ばれます。
$\cos2\theta_t, \sin2\theta_t$を代入して$\sigma$を計算すると、
\begin{eqnarray}
\bar{\sigma} = \ff{\sigma_1+\sigma_2}{2}
\end{eqnarray}
となり、垂直応力も存在することが分かります。（この垂直応力は主応力の平均値であるため、上付きバーが付いた$\bar{\sigma}$と表しています）
$xy$座標系において垂直応力とせん断応力が$\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$と表せるとき、最大せん断応力$\tau_{max}$は次のように計算される。
\begin{eqnarray}
\tau_{max} &=&\pm \sqrt{\left( \ff{\sigma_x\,-\sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 } \EE
&=& \pm\ff{\sigma_1\,-\sigma_2}{2}
\end{eqnarray}
なお、垂直応力$\sigma$は$0$ではなく、主応力$\sigma_1$と$\sigma_2$の平均値としてして次のように表される。
\begin{eqnarray}
\bar{\sigma} = \ff{\sigma_1+\sigma_2}{2} \\
\,
\end{eqnarray}
主応力の幾何学的関係
$\sigma_1$と$\sigma_2$の幾何学的関係について考えていきましょう。
次のように$\theta_n$回転した面に$\sigma_1$の主応力が働いているとします。
さて、$\DL{\tan2\Big(\theta_n + \ff{\pi}{2}\Big)} = \tan2\theta_n$の関係が成立することから、この面にも主応力が作用することが分かります。
この主応力は$\sigma_2$に他ならず、このことより、$\sigma_1$と$\sigma_2$は直交関係にあることが言えます。
なお、主応力面にはせん断応力が働かないことも留意してください。
主せん断応力の幾何学的関係
主応力の幾何学的関係が分かったので、次は主せん断応力の幾何学的関係を求めましょう。
この関係を調べるために、$\tan\theta_n$と$\tan\theta_t$の積を計算してみます。
今までの計算結果より、
\begin{eqnarray}
\tan\theta_n\tan\theta_t= \ff{2\tau_{xy}}{\sigma_x\,-\sigma_y}\cdot\left(-\ff{\sigma_x \,- \sigma_y}{2\tau_{xy}}\right) = -1
\end{eqnarray}
となって、$-1$となることが分かります。
この関係を満たすためには、$2\theta_t = 2\theta_n + \DL{\ff{\pi}{2}}$とならなければならないので、$\theta_t = \theta_n+ \DL{\ff{\pi}{4}}$の関係にあることが分かります。
つまり、最大せん断応力が作用する面は、主応力面から45°回転した位置にあることが言えます。
また、この面には二つの主応力の平均値が働きます。
リューダース線とは？
主応力や主せん断応力の存在をはっきり確認できる事例を紹介します。
透過電子顕微鏡で材料の変形の様子を見ると、降伏点に達したときに結晶面に滑りが生じる様子を観察することができます。
滑りが生じるとき、引張方向に対して±45°の角度で黒い線がいくつも生じる様子が見えます。
この線はリューダース線と呼ばれています。
なぜリューダース線はこの角度で現れるのでしょうか？
この理由について解説します。
リューダース線が±45°の角度で現れる秘密は引張試験の実施方法に隠されています。
引張試験を行うときは引張応力の$\sigma_x$のみが作用するため、$\sigma_y = \tau_{xy} = 0$となります。
このときの$\theta_n$を計算すると$0$となり、主せん断応力は$\theta_t = \pm\DL{\ff{\pi}{4}}$の面に働くことになります。
リューダース線は結晶面を滑らせるせん断応力により生じます。
したがって、リューダース線はそのせん断応力が最大となる面、すなわち引張方向に対して±45°の面で現れるのです。
主応力や主せん断応力は材料の破損のメカニズムにも深い関係があります。
このことについては別の機会に詳しく解説します。
