完全または部分的に回転が拘束された棒を回転させようとする作用をねじり作用と呼びます。
また、全体が回転しないよう、部分的に拘束された（壁などに）棒をねじると、棒の軸線に対して垂直な面の円周方向に応力が生じ、棒はねじれます。
なお、ねじれた分の角度をねじれ角と呼びます。
長さ$L$の棒に大きさ$T$のトルクが働く場合、生じるねじれ角は以下のように表せます。
\begin{eqnarray}
\theta (L) = \ff{TL}{GI_p} \\
\,
\end{eqnarray}
ただし、$G$は横弾性係数、$I_p$は断面二次極モーメントを表します。
今回は、ねじり作用を受ける棒を題材に、ねじり角の導出過程と断面二次極モーメント・ねじり剛性について解説します。
また、ねじり作用を受ける棒についての典型的な例題についても解説します。
\begin{eqnarray}
\,
\end{eqnarray}
ねじりモーメント
大きさ$T$のトルクを作用させて、棒をねじる状況を考えましょう。
棒のねじりを考えるにあたり、『軸線に垂直な面は変形後も平面を保ち、断面上の各点の移動距離は軸線（円形断面の中心）からの距離に比例する』と仮定します。
この仮定の下で軸のねじりを考えます。
具体的には、図のようなモデルを考えます。
半径$R$の棒に大きさ$T$のトルクが働いているとします。
このとき、$\diff x$だけ離れた二つの断面がねじり作用により片方の面を基準として、もう片方の面が$\diff \theta$だけ回転したとします。
さて、ねじりモーメントにより、線分$\RM{PQ}$と$\RM{RS}$が$\RM{PQ’}$と$\RM{RS’}$に変化したとします。
このとき、弧$\stackrel{\huge\frown}{\RM{QQ’}}$と$\stackrel{\huge\frown}{\RM{SS’}}$の長さはそれぞれ、
\begin{eqnarray}
\stackrel{\huge\frown}{\RM{QQ’}} &=& R \diff \theta \EE
\stackrel{\huge\frown}{\RM{SS’}} &=& r \diff \theta
\end{eqnarray}
と表せます。
一方で線分$\RM{PQ}$と$\RM{PQ’}$の成す角を$\gamma_0$、線分$\RM{RS}$と$\RM{RS’}$の成す角を$\gamma$（ガンマ）とすると、$\stackrel{\huge\frown}{\RM{QQ’}}$と$\stackrel{\huge\frown}{\RM{SS’}}$は次のように近似できます。
\begin{eqnarray}
\stackrel{\huge\frown}{\RM{QQ’}} &\NEQ& \gamma_0\, \diff x \EE
\stackrel{\huge\frown}{\RM{SS’}} &\NEQ& \gamma\, \diff x
\end{eqnarray}
$\diff \theta$のことをねじり角と呼び、ねじり角の関係を具体的に求めることが目標になります。
単位長さ当たりのねじり角
ねじり変形が微小であるとき、ぞれぞれの式が等しいと考えられるので、
\begin{eqnarray}
R \diff \theta &=& \gamma_0\, \diff x \EE
\therefore \, \gamma_0 &=& R \, \ff{\diff \theta}{\diff x}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
r \diff \theta &=& \gamma\, \diff x \EE
\therefore \, \gamma &=& r \, \ff{\diff \theta}{\diff x}
\end{eqnarray}
とできます。
これらの式を見ると右辺に$\DL{\ff{\diff \theta}{\diff x}}$が共通して出てくることが分かります。
$\DL{\ff{\diff \theta}{\diff x}}$は単位長さ当たりのねじり角を表すため、$\DL{\ff{\diff \theta}{\diff x}}$を単位長さ当たりのねじり角と呼びます。
断面に働くせん断応力
棒の断面に働くトルクと応力を図示すると、下図のようになります。
さて、先述した$\gamma$は、円柱内部でのせん断ひずみに他ならないので、円柱内部に働くせん断応力$\tau$（タウ）を次のように表せます。
\begin{eqnarray}
\tau &=& G \gamma \EE
&=& Gr \, \ff{\diff \theta}{\diff x} \tag{1}
\end{eqnarray}
$G$はせん断弾性係数または横弾性係数と呼ばれる定数です。
式(1)よりせん断応力は中心で$0$であり、中心からの距離$r$に比例して、せん断応力が増加することが分かります。
そして、外周の$r=R$にてせん断応力が最大になることも分かります。
\begin{eqnarray}
\tau_{max} &=& GR \, \ff{\diff \theta}{\diff x} \\
\,
\end{eqnarray}
ねじり剛性
せん断応力の分布について考えましょう。
断面図から分かるように、式(1)で表されるせん断応力は点対称なため、その合力は$0$になります。
一方で、せん断応力による合モーメントを考えましょう。
合モーメントは、微小な領域に働くモーメントを積分することで計算できます。
ここで、半径$r$から$r+\diff r$での微小面積を$\diff A$とします。（断面図参照）
このとき、$\diff A$に働く力は$\tau \diff A$と近似できます。
断面二次極モーメント
この力により$\diff A$に働く中心軸回りのモーメントは $r\tau \diff A$とできます。
このモーメントを、全断面にわたって積分した合モーメントがトルク$T$になるため、次のように計算できます。
\begin{eqnarray}
T &=& \int_0^{R} r\tau\, \diff A
\end{eqnarray}
これに、式(1)を代入すると、
\begin{eqnarray}
T &=& G\int_0^{R} r^2 \, \ff{\diff \theta}{\diff x} \diff A \tag{2} \EE
\end{eqnarray}
となります。
ここで、$\DL{I_p = \int_0^{R}r^2 \diff A }$と表しましょう。
そして、$I_p$のことを断面二次極モーメントと呼びます。
\begin{eqnarray}
I_p = \int_0^{R}r^2 \diff A \\
\,
\end{eqnarray}
ねじり剛性
断面二次極モーメントを用いると、式(2)は、
\begin{eqnarray}
T &=& GI_p \ff{\diff \theta}{\diff x} \EE
\end{eqnarray}
と書け、これより、$\DL{\ff{\diff \theta}{\diff x}}$を
\begin{eqnarray}
\ff{\diff \theta}{\diff x} &=& \ff{T}{GI_p} \tag{3} \EE
\end{eqnarray}
と表せます。
トルクを一定とすると、$GI_p$が大きくなるほど、左辺の$\DL{\ff{\diff \theta}{\diff x}}$の値、すなわち、棒の単位長さ当たりのねじり角が比例して小さくなるため、$GI_p$を棒のねじり易さを表す指標と考えることができます。
そのため、$GI_p$のことをねじり剛性と呼びます。
また、式(3)と式(2)より、半径$r$でのせん断応力を次のように表せます。
\begin{eqnarray}
\tau = \ff{T}{I_p}r \\
\,
\end{eqnarray}
ねじり角の公式
大きさ$T$のトルクにより、長さ$L$の棒に生じるねじり角$\theta (L)$を算出しましょう。
単位長さ当たりのねじり角$\DL{\ff{\diff \theta}{\diff x}}$が式(3)より、$\DL{\ff{T}{GI_p}}$と表せるため、長さ$L$の棒に生じるねじり角を
\begin{eqnarray}
\theta (L) = \ff{TL}{GI_p} \\
\end{eqnarray}
と表せます。
\begin{eqnarray}
\theta (L) = \ff{TL}{GI_p} \\
\,
\end{eqnarray}
もし、$\DL{\ff{T}{GI_p}}$が$x$方向に関して変化する場合、ねじり角は$x$について$0$から$L$まで積分したものと等しくなるため、
\begin{eqnarray}
\theta (L) = \int_0^L \ff{T}{GI_p} \diff x \\
\end{eqnarray}
とできます。
\begin{eqnarray}
\theta (L) = \int_0^L \ff{T}{GI_p} \diff x \\
\,
\end{eqnarray}
断面二次極モーメントの計算
断面に働くせん断応力と、棒のねじり角の計算方法は分分かりました。
これらを具体的に計算することを考えます。
その前に、断面二次極モーメントを計算する必要があるので、円柱と円筒の場合の断面二次極モーメントをの計算方法を例に解説します。
円柱の断面二次極モーメント
直径$D$の円柱の断面二次極モーメントを計算します。
$R=\DL{\ff{D}{2}}$であることに注意すると、断面二次極モーメントの定義より、この円柱の$I_p$を次のように表せます。
\begin{eqnarray}
I_p &=& \int_0^{R}r^2 \diff A \EE
&=& \int_0^{\ff{D}{2}}r^2 \diff A
\end{eqnarray}
さて、問題になるのは$\diff A$です。
$\diff A$については、先程の図を参考にすると、以下のように計算できます。
\begin{eqnarray}
\diff A &=& \pi(r+\diff r)^2 \,-\, \pi r^2 \EE
&=& 2\pi r \diff r + (\diff r)^2
\end{eqnarray}
$\diff r$の二乗の項に関しては、微小なため無視でき、
\begin{eqnarray}
\diff A &=& 2\pi r \diff r
\end{eqnarray}
とできます。
これを先ほどの積分に代入して計算すると、
\begin{eqnarray}
I_p &=& 2\pi \int_0^{R}r^3 \diff r \EE
&=& 2\pi \left[ \ff{1}{4}r^4 \right]_0^{\ff{D}{2}} \EE
&=& \ff{\pi }{32}D^4
\end{eqnarray}
となり、$I_p = \DL{\ff{\pi }{32}D^4}$となることが分かります。
\begin{eqnarray}
I_p = \ff{\pi }{32}D^4 \\
\,
\end{eqnarray}
円筒の断面二次極モーメント
次に外径$D_0$、内径$D_1$の円筒の断面二次極モーメントを計算します。
先ほどと同様に断面二次極モーメントを計算すると、
\begin{eqnarray}
I_p &=& \int_{\ff{D_1}{2}}^{\ff{D_0}{2}}r^2 \diff A \EE
&=& 2\pi\int_{\ff{D_1}{2}}^{\ff{D_0}{2}}r^3 \diff r \EE
&=& 2\pi \left[ \ff{1}{4}r^4 \right]_{\ff{D_1}{2}}^{\ff{D_0}{2}} \EE
&=& \ff{\pi }{32}\Big( D_0^4 \,- D_1^4 \Big)
\end{eqnarray}
とできて、$I_p = \DL{\ff{\pi }{32}\Big( D_0^4 \,- D_1^4 \Big)}$となることが分かります。
\begin{eqnarray}
I_p = \ff{\pi }{32}\Big( D_0^4 \,- D_1^4 \Big) \\
\,
\end{eqnarray}
ねじり角の例題１：剛体壁に固定された棒のねじり角
ねじり角を実際に計算しましょう。
今回は剛体壁に固定された棒と、テーパの付いた棒を題材として、ねじり角を計算します。
まずは、剛体壁に固定された直径が$D$で、長さが$L$、せん断弾性係数が$G$の棒のねじりを考えます。
また、左端から$a$の位置に大きさ$T$のトルクが働いているとします。
位置$a$でのねじり角の大きさを計算することが目標です。
さて、ねじり角であっても棒の伸びと同様の手順で計算することができます。
それを念頭に置いて、ステップを踏んで問題を解いて行きます。
ステップ１：自由体図の作成
自由体図を作成すると、図のようになります。
このとき、トルクを右ねじの進む方向に合わせて二重の矢印で表すことにします。
左右の端点は、剛体壁に固定されているため、ねじり角は$0$になります。
そのため、ねじり角が$0$になるように、端点にもトルクが働きます。
端点でのトルクは材料力学での正方向に働くと仮定して、とりあえす設定しておきます。
ステップ2：トルクの釣り合い計算
自由体図を考えましたが、この自由体図はトルクにより回転せず静止しているため、これらのトルクは釣り合っています。
トルクの釣り合いを式で表すと、次のようになります。
\begin{split}
-&T_a + T + T_b = 0\EE
\therefore \, &T_b = T_a \,- T
\end{split}
トルクの釣り合いから、$T_b$を$T_a$と$T$を使って表すことができました。
次に各区間でのトルクの計算を行います。
ステップ3：各区間でのトルクの計算
トルク$T$が働く位置で左右の区間に分けて、それぞれの区間の右端でのトルク$T_x$を計算します。
はじめに左区間では、$T_x$を次のように計算できます。
\begin{split}
-&T_a + T_x = 0\EE
\therefore \, &T_x = T_a
\end{split}
次に右区間では、$T_x$を次のように計算できます。
\begin{split}
-&T_a + T + T_x = 0\EE
\therefore \, &T_x = T_a \,- T
\end{split}
以上、それぞれの区間での$T_x$が計算できたので、ねじり角の計算に取り掛かりましょう。
ステップ4：相対的なねじり角の計算
左端でのねじり角を$\theta (a)$、右端でのねじり角を$\theta (b)$、大きさ$T$のトルクが働く位置でのねじり角を$\theta (c)$とすると、それぞれの相対的な回転角は、ねじり角の公式から、次のように計算できます。
\begin{eqnarray}
\theta (c) \, -\, \theta (a) &=& \ff{T_x a}{GI_p} \EE
&=& \ff{T_a a}{GI_p} \EE
\theta (b) \, -\, \theta (c) &=& \ff{T_x b}{GI_p} \EE
&=& \ff{(T_a \,- T) b}{GI_p} \EE
\end{eqnarray}
ステップ5：幾何的条件の検討
棒は剛体壁に固定されているため棒全体のねじり角は$0$、すなわち$\theta (b)- \theta(a) = 0$になるため、
\begin{eqnarray}
\theta (b) \, -\, \theta (a) &=& \Big( \theta (b) \, -\, \theta (c) \Big) + \Big( \theta (c) \, -\, \theta (a) \Big) \EE
0 &=& \ff{(T_a \,- T) b}{GI_p} + \ff{T_a a}{GI_p} \EE
0 &=& \ff{T_a L}{GI_p} \,-\, \ff{T b}{GI_p} \EE
\therefore \, T_a &=& \ff{b}{L}T
\end{eqnarray}
と、$T_a$を計算できます。（$a+b = L$を利用しています。）
$T_b$はトルクの釣り合いの計算の結果から、$T_b = \DL{-\ff{a}{L}T}$と求められます。
ステップ6：ねじり角の計算
以上より、$T$のトルクが働く位置でのねじり角を計算できます。
\begin{eqnarray}
\theta (c) \, -\, \theta (a) &=& \ff{T_a a}{GI_p} = \ff{T ab}{GI_pL}
\end{eqnarray}
$\theta (b) \, -\, \theta (c)$も計算すると、$\DL{\ff{T ab}{GI_pL}}$となり、ねじり角が一致することが分かります。
\begin{eqnarray}
\theta (c) \, -\, \theta (a) &=& \theta (b) \, -\, \theta (c) = \ff{T ab}{GI_pL} \\
\,
\end{eqnarray}
ねじり角の例題２：テーパの付いた棒のねじり角
図のように先端に行くに従い、部品の厚みや径が先細りになる状態をテーパと呼びます。
それでは、図のようにテーパの付いた棒に大きさ$T$のトルクを加えた場合に生じるねじり角を計算しましょう。
具体的には、左端に対する右端のねじり角の大きさを計算します。
棒の左端での直径を$D_1$、右端での直径を$D_2$としましょう。（ただし、$D_1 > D_2$とします）
この棒の断面二次極モーメントを$I_p$とすると、公式からねじり角の大きさは、
\begin{eqnarray}
\ff{TL}{GI_p} \\
\end{eqnarray}
と計算できるはずです。
しかし、テーパ付き棒の$I_p$は計算していませんでした。
このままでは、ねじり角を具体的に表せないため、$I_p$について計算していきましょう。
まず、左端から距離$x$だけ離れた位置での直径$D(x)$は、次のように表せます。
\begin{eqnarray}
D(x) = D_1 + \ff{D_2 \, – D_1}{L}x \\
\end{eqnarray}
すると、断面二次極モーメントは、
\begin{eqnarray}
I_p(x) &=& \int_0^{\ff{D(x)}{2}} r^2 \diff A \EE
&=& 2\pi \int_0^{\ff{D(x)}{2}} r^3 \diff r \EE
&=& \ff{\pi}{32} \left( D_1 + \ff{D_2 \, -\, D_1}{L}x \right)^4
\end{eqnarray}
となります。
ねじり角$\theta(L)$は、一般の場合で成り立つねじり角の公式から、
\begin{eqnarray}
\theta(L) &=& \int_0^{L} \ff{T}{GI_p(x)} \diff x \EE
&=& \ff{32T}{\pi G}\int_0^{L} \ff{1}{\left( D_1 + \ff{D_2 \, -\, D_1}{L}x \right)^4} \diff x \EE
&=& \ff{32T}{\pi G}\cdot\ff{L}{3(D_1 \, -\, D_2)} \left[ \ff{1}{\left( D_1 + \ff{D_2 \, – D_1}{L}x \right)^3} \right]_0^L \EE
&=& \ff{32T}{\pi G}\cdot\ff{L}{3(D_1 \, -\, D_2)}\cdot \left( \ff{1}{D_2^3} \,- \ff{1}{D_1^3} \right) \EE
&=& \ff{32TL}{3\pi G}\ff{1}{D_1 \,- D_2}\ff{D_1^3 \,-\, D_2^3}{D_1^3 D_2^3} \EE
&=& \ff{32TL}{3\pi G}\ff{D_1^2 + D_1D_2 + D_2^2}{D_1^3 D_2^3} \EE
\end{eqnarray}
と求められます。
\begin{eqnarray}
\theta(L) &=& \ff{32TL}{3\pi G}\ff{D_1^2 + D_1D_2 + D_2^2}{D_1^3 D_2^3} \\
\,
\end{eqnarray}
参考記事
