特殊関数

今回は、ガンマ関数やベッセル関数などの特殊関数の一種である、ベータ関数の性質とその応用について説明します。さて、ベータ関数は次のように定義される関数で、下記のような性質を持ちます。ベータ関数の定義と性質$m,n>0$ として、ベータ関数 $...

前回、球と球殻の重力ポテンシャルを導出しました。この結果は有用ではありますが、現実の天体に適用するには力不足です。なぜなら、地球などの現実の天体は、遠心力により赤道がわずかに膨らんだ扁平楕円体となっているためです。扁平楕円体が形成する重力ポ...

ここまでヤコビの楕円関数の定義や微分を調べ、そして、この性質より楕円関数の加法定理を導出を行いました。今回はさらに一歩進んで楕円関数を複素数の範囲まで拡張することについて考えます。さて、楕円関数の変数を複素数としたとき、その結果は次のように...

ヤコビの楕円関数は母数 $k$ の値によってそのグラフが変化しますが、$k\to 0$ の極限で三角関数となるように、周期関数の性質を持ちます。したがって、三角関数と同様、楕円関数も加法定理のような性質を持つと予想されます。実際、この予想は...

楕円関数は数学のみならず、物理学にも応用される重要な特殊関数です。今回は、楕円関数の中で最も代表的なヤコビの楕円関数について定義とその性質について解説します。まず、ヤコビの楕円関数は次のように定義される関数のことです。ヤコビの楕円関数の定義...

今回は楕円の周長に関わる楕円積分と呼ばれる積分について考えていきます。楕円積分には、第一種楕円積分、第二種楕円積分、第三種楕円積分がありますが、ここでは第一種楕円積分と第二種楕円積分について解説していきます。物理学的には、次のように定義され...