今回は、ヒーターのような内部に発熱がある物体の温度分布について考えます。状況としては、スイッチをオンにしてから、ある程度、時間が経過した後での物体内の温度分布を考えることに相当します。
物体内部に発熱がある温度分布についても熱伝導方程式を解くことで導けます。例えば、平板と円筒では次のような温度分布になります。
$\rho$ を密度、$c$ を比熱、$k$ を熱伝導率、$\dot{q}_v$ を単位時間・単位体積当たりの発熱量とする。
このとき、発熱を伴う平板の温度分布は次のように表せる。
\begin{split}
T(x)&=-\ff{\dot{q_v}}{2k}x^2+\left( \ff{T_1-T_0}{L}+\ff{\dot{q_v}\,L}{2k} \right)x+T_0\EE
&\qquad(0\leq x\leq L,\,\,T_1\leq T\leq T_0)
\end{split}
また、発熱を伴う円筒の温度分布は次のように表せる。
\begin{split}
T(r)&=T_0+(T_1-T_0)\ff{\ln \ff{r}{r_0}}{\ln \ff{r_1}{r_0}}+\ff{\dot{q_v}}{k}\left\{ r_0-r+(r_1-r_0)\ff{\ln \ff{r}{r_0}}{\ln \ff{r_1}{r_0}} \right\} \EE
&\qquad\qquad\quad\,\,\,(r_0\leq r\leq r_1,\,\,T_1\leq T\leq T_0) \\
\,
\end{split}
今回はこのような内部発熱を伴う平板と円筒の、定常熱伝導における温度分布の導出過程について解説します。
支配方程式の導出
まずは、発熱を伴う定常熱伝導の様子を記述する熱伝導方程式を確認しておきます。
今考えているのは定常熱伝導であるため、以下の熱伝導方程式が、発熱を伴う物体内の温度分布を記述する方程式であると言えます。
\begin{split}
0 = \ff{k}{\rho c}\nabla^2\,T + \ff{\dot{q_v}}{\rho c}
\end{split}
発熱を伴う平板の定常熱伝導
上式に基づいて、内部に発熱を伴う平板の温度分布を記述する方程式を導きます。
平板全体が単位時間・単位体積あたり、$\dot{q}_v$ の大きさで発熱しているとします。
すると、熱伝導方程式はこちらで導出したように、
\begin{eqnarray}
0 &= \ff{k}{\rho c}\ff{\del^2\,T}{\del x^2}+ \ff{\dot{q_v}}{\rho c}\tag{1}
\end{eqnarray}
と記述できます。
発熱を伴う円筒の定常熱伝導
次に、発熱を伴う円筒の温度分布を記述する方程式を導きます。
このときの様子を記述する熱伝導方程式は、円筒の長さを $L$ として、
\begin{eqnarray}
0 &= \ff{k}{\rho c}\ff{\diff}{\diff r}\left(r\ff{\diff T}{\diff r} \right)+\ff{\dot{q_v}L}{\rho c}\tag{2}
\end{eqnarray}
となります。この方程式の右辺第一項についての導出過程はこちらで解説しています。
発熱を伴う平板の温度分布の導出
式$(1)$を解くことで、発熱を伴う平板内の温度分布を導けます。早速、分布を求めていきましょう。
まず、両辺を一回積分して、
\begin{eqnarray}
\ff{k}{\rho c}\ff{\del\,T}{\del x}+ \ff{\dot{q_v}}{\rho c}x=C_1
\end{eqnarray}
さらに一回積分して、
\begin{eqnarray}
\ff{k}{\rho c}T(x)+ \ff{\dot{q_v}}{2\rho c}x^2=C_1x+C_2
\end{eqnarray}
となります。ただし、$C_1, C_2$ を積分定数とします。整理して、
\begin{eqnarray}
T(x)=-\ff{\dot{q_v}}{2k}x^2+C_1x+C_2
\end{eqnarray}
となります。
境界条件として、ディリクレ条件を適用することとします。
すなわち、$x=0$ にて $T_0$ とし、$x=L$ にて $T_1$ であるとします。これを上式に適用すると、$C_1, C_2$ は
$$
\left\{
\begin{split}
C_1 &= \ff{T_1-T_0}{L}+\ff{\dot{q_v}\,L}{2k} \\[8pt]
C_2 &= T_0
\end{split}
\right.
$$
となります。以上より温度分布を、
\begin{eqnarray}
T(x)=-\ff{\dot{q_v}}{2k}x^2+\left( \ff{T_1-T_0}{L}+\ff{\dot{q_v}\,L}{2k} \right)x+T_0
\end{eqnarray}
と導けます。この温度分布を図示すると、以下のようになります。
平板内の温度分布が上に凸な放物線を描いていることが分かります。
発熱を伴う円筒の温度分布の導出
引き続き、式$(2)$を解くことで発熱を伴う円筒内の温度分布を導きます。まず、両辺を一回積分して、
\begin{eqnarray}
\ff{k}{\rho c}\left(r\ff{\diff T}{\diff r}\right) +\ff{\dot{q_v}L}{\rho c}r = C_1
\end{eqnarray}
さらに一回積分して整理すると、
\begin{eqnarray}
T(r)=-\ff{\dot{q_v}L}{k}r+\ff{\rho c}{k}C_1\ln r+C_2
\end{eqnarray}
となります。ただし、$C_1, C_2$ を積分定数とします。
先述のように、境界条件として、ディリクレ条件を適用します。つまり、$r=r_0$ にて $T_0$ とし、$r=r_1$ にて $r_1$ であるとします。これを上式に適用すると、$C_1, C_2$ は
$$
\left\{
\begin{split}
C_1 &= \ff{k}{\rho c}\cdot\ff{T_1-T_0}{\ln\ff{r_0}{r_1}}+\ff{\dot{q_v}L(r_0-r_1)}{\rho c\ln\ff{r_0}{r_1}} \\[8pt]
C_2 &= -\ff{T_0\ln r_1-T_1\ln r_0}{\ln\ff{r_0}{r_1}}-\ff{\dot{q_v}L(r_0\ln r_1-r_1\ln r_0)}{k\ln\ff{r_0}{r_1}}
\end{split}
\right.
$$
と求められます。これらより温度分布を、
\begin{eqnarray}
T(r)=T_0+(T_1-T_0)\ff{\ln \ff{r}{r_0}}{\ln \ff{r_1}{r_0}}+\ff{\dot{q_v}L}{k}\left\{ r_0-r+(r_1-r_0)\ff{\ln \ff{r}{r_0}}{\ln \ff{r_1}{r_0}} \right\}
\end{eqnarray}
と確定できます。以前の計算と比較すると、発熱による第$2$項が付け加えられていることが分かります。
また、このときの温度分布を計算しても平板の場合と同様に、上に凸な放物線を描きます。
