熱の伝わりにくさを数値化したものを熱抵抗と呼び、次のように定義されます。
$\D T$ を $2$ 点間の温度差、$\dot{Q}$ を $2$ 点間を通過する伝熱量とする。
このとき、熱抵抗 $R_{\q}$ を次のように定義する。
\begin{split}
R_{\q} = \ff{\D T}{\dot{Q}} \\
\,
\end{split}
熱抵抗は、物体の形状や材質、厚みに対応して変化しますが、一度求めてしまえば定数として使うことができます。
また、複数の物体全体の熱抵抗を求めるとき、電気回路の合成抵抗と同様の方法で求めることができるなど、便利な性質を持っています。
熱抵抗とは？
熱抵抗とは、熱の伝わりにくさを数値化したもので、次のように定義されます。
$\D T$ を $2$ 点間の温度差、$\dot{Q}$ を $2$ 点間を通過する伝熱量とする。
このとき、熱抵抗 $R_{\q}$ を次のように定義する。
\begin{split}
R_{\q} = \ff{\D T}{\dot{Q}} \\
\,
\end{split}
熱抵抗の内容を図示すると、以下の様になります。
温度差が $\D T = T_0-T_1$ と表せるとき、熱抵抗の定義より、$\DL{R_{\q} = \ff{T_0-T_1}{\dot{Q}}}$ となります。なお、熱抵抗の単位は $\RM{K/W}$ となります。
平板の熱抵抗
さっそく、定常熱伝導での平板の熱抵抗を求めてみます。内部に発熱の無い平板を通過する伝熱量は、こちらで求めたように、以下の様にできます。ただし、平板の熱伝導率を $k$、断面積を $A$、厚みを $L$ とします。
\begin{split}
\dot{Q} = kA\ff{T_0-T_1}{L}
\end{split}
このとき、熱抵抗の定義より、平板の熱抵抗を
\begin{split}
R_{\q} &= \ff{\D T}{\dot{Q}} \EE
&= (T_0-T_1)\cdot\ff{L}{kA(T_0-T_1)} \EE
&\therefore\,R_{\q} = \ff{L}{kA}
\end{split}
と求められます。
$L$ を平板の厚み、$A$ を断面積、$k$ を熱伝導率として、平板の熱抵抗 $R_{\q}$ は次のように表せる。
\begin{split}
R_{\q} = \ff{L}{kA} \\
\,
\end{split}
円筒の熱抵抗
次に、定常熱伝導での円筒の熱抵抗を求めます。内部に発熱の無い円筒を通過する伝熱量は、こちらで求めたように、以下の様になります。ただし、円筒の熱伝導率を $k$、内径を $r_0$、外径を $r_1$、長さを $L$ とします。
\begin{split}
\dot{Q}= \ff{2\pi k(T_0-T_1)}{\ln \ff{r_1}{r_0}}
\end{split}
したがって、円筒の熱抵抗は定義より、
\begin{split}
R_{\q} &= \ff{\D T}{\dot{Q}} \EE
&= (T_0-T_1)\cdot\ff{\ln\ff{r_1}{r_0}}{2\pi kL(T_0-T_1)} \EE
&\therefore\,R_{\q}= \ff{\ln\ff{r_1}{r_0}}{2\pi kL}
\end{split}
と求められます。
$L$ を円筒の長さ、$r_0$ を内径、$r_1$ を外径、$k$ を熱伝導率として、円筒の熱抵抗 $R_{\q}$ は次のように表せる。
\begin{split}
R_{\q}= \ff{\ln\ff{r_1}{r_0}}{2\pi kL} \\
\,
\end{split}
接触熱抵抗とは？
個体の接触面は、理想的に密着していると考えますが、現実には物体表面の粗さにより、密着することはありません。こちらでも解説したように、相手面と実際に触れている真実接触面は見かけの面積のごく一部です。
ゆえに、伝熱量は想定よりもずっと小さくなります。電気回路の放熱を考えるとき、接触熱抵抗が問題となります。
このようなとき、接触面での温度は見かけ上では不連続となります。このとき、接触面には熱抵抗があると見なせ、これを接触熱抵抗あるいは、界面熱抵抗と呼びます。
上図のように、接触面の温度がそれぞれ $T_{1A}, T_{1B}$ であるとき、接触熱抵抗 $R_c$ は次のように表せます。
\begin{split}
R_{c} &= \ff{T_{1A}-T_{1B}}{\dot{Q}}
\end{split}
ところで、平板が定常熱伝導の状態にあるとき、境界からの位置に関わらず平板を通過する熱流束は一定となる性質があります。
ただし、接触面での面積が分からないため、熱流束よりも伝熱量で考えた方が簡単です。したがって、伝熱量についての以下の等式で考える方が自然です。
\begin{split}
\dot{Q}=k_0A\ff{T_0-T_{1A}}{L_0}=\ff{T_{1A}-T_{1B}}{R_{c}}=k_1A\ff{T_{1B}-T_{2}}{L_1}
\end{split}
ここから $R_c$ を求めると、
\begin{split}
R_c=\ff{T_0-T_2}{\dot{Q}}-\left( \ff{L_0}{k_0A}+\ff{L_1}{k_1A} \right)
\end{split}
となります。$\dot{Q}$ を測定できればそれ以外は定数のため、接触熱抵抗が得られます。
なお、接触熱抵抗の経験式として、橘・佐野川の式が知られています。
熱抵抗と電気回路のアナロジー
直列な多層平板の合成熱抵抗
図のような、熱伝導率が異なる多数の平板から構成されるとき、この多層平板全体の熱抵抗について考えます。
なお、接触熱抵抗は無いとし、各平板の界面での温度を $T_0,T_1, T_2\cdots$ と置きます。
今、平板は定常熱伝導の状態にあるので、各平板を通過する熱流束は等しく、以下の等式が成立します。
\begin{split}
q=\ff{k_0}{L_0}(T_0-T_1)=\ff{k_1}{L_1}(T_1-T_2)=\ff{k_2}{L_2}(T_2-T_3)=\cdots
\end{split}
これより、熱流束を次のようにできます。
\begin{split}
q&=\ff{T_0-T_n}{\DL{\ff{L_0}{k_0}+\ff{L_1}{k_1}+\ff{L_2}{k_2}+\cdots}}\EE
\end{split}
これより平板を通過する伝熱量 $\dot{Q}$ を次のように計算できます。
\begin{split}
\dot{Q}=qA&=\ff{T_0-T_n}{\DL{\ff{L_0}{k_0A}+\ff{L_1}{k_1A}+\ff{L_2}{k_2A}+\cdots}}\EE
\end{split}
ここで、平板の熱抵抗の式を思い出すと、$R_{\q0}=\DL{\ff{L_0}{k_0A}},R_{\q1}=\DL{\ff{L_1}{k_1A}}\cdots$ の関係にあるので、
\begin{split}
\dot{Q}=qA&=\ff{T_0-T_n}{R_{\q0}+R_{\q1}+R_{\q2}+\cdots}\EE
\end{split}
とできます。ところで、多層平板全体の熱抵抗を $R_{\q}$ とすると $\DL{\dot{Q}=\ff{T_0-T_n}{R_{\q}}}$ とできるので、２式を比較することで、
\begin{split}
R_{\q}=R_{\q0}+R_{\q1}+R_{\q2}+\cdots
\end{split}
の関係にあることが分かります。この関係式は、直列回路の合成抵抗と同一の結果であることは注目に値します。
直列に重ねられた多層平板全体の熱抵抗 $ R_{\q}$ は次のように計算できる。
\begin{split}
R_{\q}=\sum_{i=0}^n R_{\q i}
\end{split}
ただし、$R_{\q i}$ を各平板の熱抵抗とする。
並列な多層平板の合成熱抵抗
次に、平行に重ねられた多層平板全体の熱抵抗について求めます。
ここでは平板の熱伝導率と断面積をそれぞれ、$A_0,k_0$ などとして、長さを $L$ とします。
このとき、各平板を通過する伝熱量 $\dot{Q}_i$ と熱抵抗 $R_{\q i}$ の間には、$\dot{Q}_i=\DL{\ff{(T_0-T_1)}{R_{\q i}}}$ のような関係にあります。
ところで、並列平板全体の熱抵抗を $R_{\q}$、伝熱量を $\dot{Q}$ とすると、
\begin{split}
\dot{Q}=\ff{T_0-T_1}{R_{\q}}
\end{split}
とでき、$\dot{Q}=\dot{Q}_0+\dot{Q}_1+\dot{Q}_2+\cdots$ の関係にあるため、以下の等式が成立します。
\begin{split}
\dot{Q}=\ff{T_0-T_1}{R_{\q}} =\left(\ff{1}{R_0}+\ff{1}{R_1}+\ff{1}{R_2}+\cdots \right)(T_0-T_1)
\end{split}
したがって、
\begin{split}
\ff{1}{R_{\q}} =\ff{1}{R_0}+\ff{1}{R_1}+\ff{1}{R_2}+\cdots
\end{split}
となります。この関係式もやはり、並列回路の合成抵抗と同一の結果となりました。
並列に重ねられた多層平板全体の熱抵抗 $ R_{\q}$ は次のように計算できる。
\begin{split}
\ff{1}{R_{\q}} =\sum_{i=0}^n \ff{1}{R_{\q i}}
\end{split}
ただし、$R_{\q i}$ は各平板の熱抵抗とする。
このように、電気回路のアナロジーとして熱抵抗の合成を考えると、簡単に系全体の熱抵抗が計算できるようになります。
