ビオ数が十分小さいときは集中熱容量モデルと呼ばれる、熱伝導方程式を近似した手法が使えます。
集中熱容量モデルでは、物体内の温度分布を無視して熱容量だけの集中系として温度変化を取り扱う点が特徴となります。
ビオ数が十分小さいとき（物体が十分に小さいか、熱伝導率が十分大きい場合）、
以下のように集中熱容量モデルを用いて温度変化を記述できる。
\begin{split}
\rho c V\ff{\diff T}{\diff t} = C \ff{\diff T}{\diff t} = -hS(T-T_{\infty})
\end{split}
ただし、$\rho$ を密度、$c$ を比熱、$V$ を物体の体積、$h$ を熱伝達率、$S$ を物体の表面積とする。
集中熱容量モデルを用いることで、ビオ数とフーリエ数を用いて温度変化を次のように記述できます。
今回は集中熱容量モデルと、その一般解について解説します。また、集中熱容量モデルを用いた例題についても解説します。
集中熱容量モデルとは？
図のように密度、比熱、熱伝導率が $\rho, c, k$ の物体が流体中にあり、その表面では熱伝達による熱の出入りがあるとします。
このとき、熱伝達による表面からの熱流束の大きさは、ニュートンの冷却法則より、
\begin{split}
q=h(T-T_{\infty})
\end{split}
とできます。ただし、$h$ を熱伝達率、$T$ を壁面温度、$T_{\infty}$ を壁面から十分離れた位置での流体の温度とします。
今、物体内に発熱が無いとするとその温度変化は熱伝導方程式より次のように記述されます。
\begin{split}
\ff{\del T}{\del t} &= \ff{k}{\rho c}\left(\ff{\del^2\,T}{\del x^2}+\ff{\del^2\,T}{\del y^2}+\ff{\del^2\,T}{\del z^2} \right)
\,
\end{split}
さて、物体が十分に小さいか、熱伝導率が十分大きい場合、物体内部も表面とほぼ一様な温度を保ったまま変化すると考えられます。
この仮定の下で、改めて物体の熱エネルギーの収支を考えます。
まず、$\D t$ 秒間の間に $\D T$ の温度変化があったとすると、体積 $V$ の物体の内部エネルギーの変化 $\D U$ を、
\begin{split}
\D U = -\rho c V\D T
\end{split}
と表せるので、単位時間当たりのエネルギー変化を、
\begin{split}
\ff{\D U}{\D t} = -\rho c V\ff{\D T}{\D t}
\end{split}
と計算できます。
一方、流体が受け取る単位時間当たりの熱エネルギーは、物体の表面積 $S$ に比例して大きくなるため、
\begin{split}
qS = hS(T-T_{\infty})
\end{split}
と表せます。両者の大きさはエネルギー保存則から一致するため、
\begin{split}
-\rho c V\ff{\D T}{\D t} = hS(T-T_{\infty})
\end{split}
という等式が成立します。これより、
\begin{split}
\rho c V\ff{\diff T}{\diff t} = C \ff{\diff T}{\diff t} = -hS(T-T_{\infty})
\end{split}
と微分方程式を導けます。
微分方程式の形から分かるように物体内の温度分布を無視し、熱容量 $C$ のみにより温度変化を記述していることから、これを熱容量集中モデルと呼びます。
集中熱容量モデルの基礎方程式
前述の結果より、熱容量集中モデルの基礎方程式は、
\begin{split}
\rho c V\ff{\diff T}{\diff t} = -hS(T-T_{\infty})
\end{split}
とできます。また、$t=0$ における初期温度を $T_0$ として、無次元化温度 $\q=\DL{\ff{T-T_{\infty}}{T_0-T_{\infty}}}$ を導入して上式を書き換えると、
\begin{split}
\rho c V\ff{\diff \q}{\diff t} = -hS\q
\end{split}
となります。さらに微分方程式を整理し、
\begin{split}
\ff{\diff \q}{\q} = -\ff{hS}{\rho c V} \diff t
\end{split}
これの両辺を積分すると、
\begin{split}
\ln \q &= -\ff{hS}{\rho c V}+C \\[8pt]
\therefore\,\, \q &= Ce^{-\ff{hS}{\rho c V}t}
\end{split}
と $\q$ の一般解を求められます。ただし、$C$ を積分定数とします。
今、$t=0$ にて $T=T_0$ 、つまり、$\q=1$ であることより $C=1$ と確定できます。
したがって、集中熱容量モデルでの温度変化は、
\begin{split}
T(t) &= T_{\infty}+(T_0-T_{\infty})e^{-\ff{hS}{\rho c V}t}
\end{split}
と記述できることが分かります。
導出した結果は、ビオ数とフーリエ数を用いることで、さらに整理できます。
\begin{split}
T(t) &= T_{\infty}+(T_0-T_{\infty})e^{-\ff{hS}{\rho c V}t} \EE
&= T_{\infty}+(T_0-T_{\infty})e^{-\ff{hL}{k}\cdot \ff{kt}{\rho cL^2}} \EE
&= T_{\infty}+(T_0-T_{\infty})e^{-Bi\cdot Fo}
\end{split}
なお、$\A$ を熱拡散率とします。
集中熱容量モデルの例題
集中熱容量モデルを用いて鉄板の冷却時間を実際に見積もってみましょう。
今、鉄板の厚み $L$ を $5\,\RM{mm}$ 熱伝導率 $k$ を $40\,\RM{W/m\,K}$ 熱拡散率 $\A$ を $2.0\times10^{-5}\,\RM{m^2/s}$ とします。
さて、鉄板を水中で急冷するとして、その熱伝達率 $h$ を $2.0\times10^3\,\RM{W/m^2K}$ とすると、ビオ数は、
\begin{split}
Bi = \ff{2.0\times10^3\times5\times10^{-3}}{40}\NEQ 0.25 <1
\end{split}
となります。したがって、今回の問題に集中熱容量モデルを適用できることが分かります。
ここで、鉄板の初期温度を $800\,\RM{{}^{\circ}C}$、水温を $15\,\RM{{}^{\circ}C}$ で一定として、鉄板が $300\,\RM{{}^{\circ}C}$ まで冷却される時間を求めることを考えます。
集中熱容量モデルの計算結果より、
\begin{split}
T(t) &= T_{\infty}+(T_0-T_{\infty})e^{-Bi\cdot Fo}
\end{split}
であることは既に述べたとおりですが、これを一旦、無次元化温度として整理します。すると、
\begin{split}
\q=\ff{T(t)-T_{\infty}}{T_0-T_{\infty}} &= e^{-Bi\cdot Fo}
\end{split}
とできます。
題意より、鉄板が $300\,\RM{{}^{\circ}C}$ まで冷却されると $\q=0.36$ となり、これに先程求めた $Bi$ を代入して、
\begin{split}
0.36 = e^{-0.25\times Fo}
\end{split}
として、これを変形すると、
\begin{split}
Fo = -\ff{\ln{0.36}}{0.25}
\end{split}
となります。
$Fo=\DL{\ff{\A t}{L^2}}$ より $t$ を
\begin{split}
t = -\ff{(5\times10^{-3})^2}{2.0\times10^{-5}}\cdot\ff{\ln{0.36}}{0.25}\NEQ5.0
\end{split}
と求められます。
集中熱容量モデルを用いることで、簡単に冷却時間を見積もれることが分かります。
