ここまでは、定常熱伝導について考えてきましたが、今回は非定常熱伝導について考えます。
非定常熱伝導では、熱伝導方程式の左辺にある非定常項が $0$ でないため、偏微分方程式について解かなければなりません。
今回は、半無限固体を題材に熱伝導方程式の解法について解説します。なお、ここでは $3$ 種類の境界条件についての一般解を求めていきます。
熱拡散率を $\A$ として、半無限固体の非定常熱伝導方程式は次のように記述できる。
\begin{eqnarray}
\ff{\del T}{\del t} &= \A\ff{\del^2\,T}{\del x^2}\\
\,
\end{eqnarray}
半無限固体の熱伝導方程式
今回は図のような半無限固体の非定常熱伝導について考えます。
さて、物体の熱拡散率を $\A$ として物体内部に発熱が無いとします。すると、熱伝導方程式は次のように表せました。
\begin{split}
\ff{\del T}{\del t} &= \A\left(\ff{\del^2\,T}{\del x^2}+\ff{\del^2\,T}{\del y^2}+\ff{\del^2\,T}{\del z^2} \right)
\end{split}
今、$y,z$ 方向に関しての温度変化は $x$ 方向に比べて無視できる程小さいため、一次元熱伝導方程式と考えれば良く、
\begin{eqnarray}
\ff{\del T}{\del t} &= \A\ff{\del^2\,T}{\del x^2}\tag{1}
\end{eqnarray}
とできます。
変数変換の導入
$(1)$ の熱伝導方程式を計算するに当たり、次のような変数変換を導入します。
\begin{split}
\eta = \ff{x}{2\sqrt{\A t}}
\end{split}
すると、
$$
\left\{
\begin{split}
\,&\ff{\del T}{\del t} = -\ff{x}{4\sqrt{\A}}\cdot\ff{1}{t\sqrt{t}}\ff{\del T}{\del \eta} \\[8pt]
\,&\ff{\del^2\,T}{\del x^2} = \ff{1}{4\A t}\ff{\del^2\,T}{\del \eta^2}
\end{split}
\right.
$$
であるので、これを式$(1)$に適用して整理すると、
\begin{eqnarray}
\ff{\del^2\,T}{\del \eta^2}&+&\ff{x}{\sqrt{\A t}}\ff{\del T}{\del \eta} = 0\\[8pt]
\therefore\,\,\ff{\del^2\,T}{\del \eta^2}&+&2\eta\ff{\del T}{\del \eta} = 0 \tag{2}
\end{eqnarray}
となり、めでたく一変数の微分方程式に変換できました。
今回は、式$(2)$について解くことがテーマになります。
ディリクレ条件での温度分布の導出
始めに、ディリクレ条件での一般解を求めていきます。ディリクレ条件では、壁面の温度を一定とするため、$x=0$ にて $T=T_w$ とできます。
また、$t=0$ での初期状態において、$x>0$ の範囲の温度を $T_0$ で一定であるとします。
さて、今後の展開を見据えて次のように $(2)$ を無次元化します。
\begin{eqnarray}
\q = \ff{T-T_0}{T_w-T_0}
\end{eqnarray}
このようにすることで、式$(2)$ は、
\begin{split}
\ff{\del^2\,\q}{\del \eta^2}&+&2\eta\ff{\del \q}{\del \eta} = 0
\end{split}
とできます。さらに $f’=\DL{\ff{\del \q}{\del \eta}}, f^{”}=\DL{\ff{\del^2\,\q}{\del \eta^2}}$ として、
\begin{split}
-2\eta = \ff{f^{”}}{f’}
\end{split}
と変形し、両辺積分することで、
\begin{split}
-\eta^2+&C_0 = \ln(f’) \EE
\therefore\,\,f’&=C_1\,e^{-\eta^2}
\end{split}
とでき、これをもう一度積分して、
\begin{split}
\q(\eta)=f(\eta)&=C_1\int_0^{\eta} e^{-\xi^2}\,\diff \xi+C_2
\end{split}
となります。ただし、$C_1,C_2$ を積分定数とします。
任意の時刻にて $T(t,0)=T_w$ であることから、$\eta = 0$ にて $\q=1$ と言えて、$C_2=1$ となります。さらに、$x=\infty$ にて $\q =0$ であることより、$C_1=\DL{-\ff{2}{\sqrt{\pi}}}$ となります。（この計算では、ガウス積分の結果を利用しています）
以上より $\q$ は、
\begin{split}
\q=1-\ff{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\eta} e^{-\xi^2}\,\diff \xi
\end{split}
とできます。
ここで、誤差関数（$\RM{error\,function}$）と呼ばれる次のような関数を定義します。
\begin{split}
\RM{erf}(x)=\ff{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{x} e^{-y^2}\,\diff y
\end{split}
エラー関数を用いて、これまでの変数変換を元に戻すと、
\begin{split}
T(t,x)=T_0+(T_w-T_0)\left\{ 1-\RM{erf}\left( \ff{x}{2\sqrt{\A t}}\right) \right\}
\end{split}
となります。
ノイマン条件での温度分布の導出
次に、ノイマン条件での一般解を求めていきます。ノイマン条件では、壁面での熱流束を一定とするため、$0<t, x=0$ にて $q_w=\DL{-k\left.\ff{\del T}{\del x}\right|_{x=0}=const.}$ とできます。
また、$t=0\,(\eta=\infty)$ にて $0\leq x$ の範囲で $T=T_0$ であることも境界条件となります。
これら$2$つの境界条件を先程求めた
\begin{split}
\q(\xi)=f(\xi)&=C_1\int_0^{\xi} e^{-\eta^2}\,\diff \eta+C_2
\end{split}
に適用して整理すると、
\begin{split}
T(t,x)=T_0+\ff{q_w\sqrt{\A t}}{k}\left\{\ff{2}{\sqrt{\pi}}e^{-\eta^2}-2\eta\Big(1-\RM{erf}(\eta) \Big) \right\}
\end{split}
と求められます。
第三種境界条件
境界面における熱伝達率を規定する境界条件のことを、第三種境界条件と呼びます。
このときの境界条件は、ニュートンの冷却法則より、次のように表されます。
\begin{split}
-k\left.\ff{\del T}{\del x}\right|_{x=0} = h\Big(T_{\infty}-T_w(t)\Big)
\end{split}
この境界条件を適用すると、
\begin{split}
\q=1-\RM{erf}(\eta)-e^{\left(\ff{hx}{k}+\ff{h^2\A t}{k^2}\right)}\left\{1-\RM{erf}\left(\eta+\ff{h\sqrt{\A t}}{k} \right) \right\}
\end{split}
となります。
