以前、拡大伝熱面によって放熱が促進される理由について解説しました。
工学的には、エンジンやCPUの冷却に拡大伝熱面の性質が活用されています。さて、フィンの表面積を増やすほど放熱量も比例して増えるのかと言うと、そのようなことは無く、フィン効率と呼ばれる係数により定められます。
今回は、フィン効率を理論的に導出することを考えます。
$h$ を熱伝達率、$k$ をフィンの熱伝導率、$t$ をフィンの厚み、$L$ をフィンの長さとする。
このとき、フィン効率 $\eta$ を次のように表せる。
\begin{split}
\eta &= \ff{\tanh mL}{mL}
\end{split}
ただし、$m=\DL{\sqrt{\ff{2h}{kt}}}$ とする。
フィン効率の導出過程を理解することは、フィンの最適な設計を行う上で重要な知識となります。
フィンの熱収支について
フィン効率の導出を行う準備として、矩形フィンの微小部分での熱収支を考えます。
具体的には断面積が $A$ で、長さ $\diff x$ の微小部分を出入りする熱収支について考えます。
このとき、フィンの根元から $x$ 離れた位置での微小部分での熱収支は図より、次のように表せます。
\begin{eqnarray}
\dot{Q}(x)=\dot{Q}(x+\diff x)+\D \dot{Q}_f \tag{1}
\end{eqnarray}
次に、これらを具体化していくことを考えます。
フィン内の温度変化は $x$ 方向のみに生じると近似できるため、$1$ 次元定常熱伝導の問題として取り扱うことができます。この仮定とフーリエの法則より、$\dot{Q}(x),\,\dot{Q}(x+\diff x)$ については以下のように記述できます。
$$
\left\{
\begin{split}
\,&\dot{Q}(x)=-A\left( k\ff{\del\,T(x)}{\del x}\right) \EE
\,&\dot{Q}(x+\diff x)=-A\left( k\ff{\del\,T(x+\diff x)}{\del x}\right)
\end{split}
\right.
$$
ただし、フィンの熱伝導率を $k$ とします。
$\dot{Q}(x+\diff x)$ についてはテーラー展開を利用して、
\begin{split}
T(x+\diff x)\NEQ T(x)+\ff{\del T(x)}{\del x}\diff x
\end{split}
と近似できるので、これより、$\dot{Q}(x+\diff x)\NEQ \DL{-Ak\left(\ff{\del\,T(x)}{\del x}+\ff{\del^2\,T(x)}{\del x^2}\diff x \right)}$ と書くことができます。
最後、$\D \dot{Q}_f$ についてはニュートンの冷却法則を利用して、
\begin{split}
\D \dot{Q}_f &= 2(t+w)\diff x\cdot h(T(x)-T_{\infty})
\end{split}
と書くことができます。ただし、$h$ を熱伝達率、$t,w$ をフィン縦横の寸法とします。以上の結果を式 $(1)$ に適用すると、
\begin{split}
0 &= \dot{Q}(x+\diff x)-\dot{Q}(x)+\D \dot{Q}_f \EE
&= Ak\ff{\del^2\,T(x)}{\del x^2}\diff x-2(t+w)\diff x\cdot h(T(x)-T_{\infty}) \EE
&= \ff{\del^2\,T(x)}{\del x^2}-\ff{Sh}{Ak}(T(x)-T_{\infty})
\end{split}
となります。ただし、$2(t+w)=S$ としています。
以上より、フィン微小部分の熱収支を以下のような微分方程式として記述できます。
\begin{eqnarray}
\ff{\diff^2\,T}{\diff x^2}-\ff{Sh}{Ak}(T-T_{\infty})=0\tag{2}
\end{eqnarray}
フィン表面温度分布の計算
式$(2)$を解いてフィン表面の温度分布を計算することを目指しますが、準備として以下のような変数変換を行います。
$$
\left\{
\begin{split}
\,&\q=\ff{T-T_{\infty}}{T_1-T_{\infty}} \\[8pt]
\,&m^2=\ff{Sh}{Ak}
\end{split}
\right.
$$
これを利用して式$(2)$を、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff^2\,\q}{\diff x^2}-m^2\q=0
\end{eqnarray}
と変形できます。上式の一般解は特性方程式を解くことで得られ、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\q(x) = C_1\,e^{mx}+C_2\,e^{-mx}\tag{3}
\end{eqnarray}
ただし、$C_1, C_2$ を積分定数とします。
$\q$ を決定するためには境界条件を与える必要がありますが、今回はフィン根元($x=0$)の温度が $T_1$ であること、フィン先端($x=L$)にて温度変化が無いことが境界条件に相当します。
したがって、境界条件は次のようになります。
$$
\left\{
\begin{split}
\,&\q(0) = \ff{T_1-T_{\infty}}{T_1-T_{\infty}}=C_1+C_2=1 \\[8pt]
\,&\ff{\diff \q(L)}{\diff x} = m\Big(C_1\,e^{mL}-C_2\,e^{-mL}\Big) = 0
\end{split}
\right.
$$
これらより、$C_1, C_2$ を以下のように定められます。
$$
\left\{
\begin{split}
\,&C_1 = \ff{e^{-mL}}{e^{mL}+e^{-mL}} \\[8pt]
\,&C_2 = \ff{e^{mL}}{e^{mL}+e^{-mL}}
\end{split}
\right.
$$
これを式$(3)$に代入することにより、フィン表面の温度分布が得られます。
\begin{split}
\q(x) = \ff{e^{m(L\,-\,x)}+e^{-m(L\,-\,x)}}{e^{mL}+e^{-mL}}
\end{split}
さらに $\DL{\cosh x = \ff{e^x+e^{-x}}{2}}$ とすると、
\begin{eqnarray}
\q(x) = \ff{\cosh m(L-x)}{\cosh mL}\tag{4}
\end{eqnarray}
でき、フィン表面の温度分布を簡単に表示できます。
フィン効率の導出
さて、フィンからの放熱量 $\dot{Q}_f$ は、$\D \dot{Q}_f$ を $x=0$ から $x=L$ まで積分することで求められます。
まず、$\D \dot{Q}_f$ については式$(4)$の結果も適用して、以下のように表示でき、
\begin{split}
\D \dot{Q}_f &= S h(T_1-T_{\infty})\cdot \q(x)\diff x \EE
&= S h(T_1-T_{\infty})\cdot\ff{\cosh m(L-x)}{\cosh mL}\diff x
\end{split}
これを積分することで、$\dot{Q}_f$ についての結果が得られます。
\begin{split}
\dot{Q}_f &= \int_0^L \D \dot{Q}_f \diff x \EE
&= \ff{S h(T_1-T_{\infty})}{\cosh mL}\int_0^L \cosh m(L-x)\diff x\EE
&= \ff{S h(T_1-T_{\infty})}{\cosh mL}\left[-\ff{1}{m}\sinh m(L-x) \right]_0^L \EE
&= \ff{S h(T_1-T_{\infty})}{m}\cdot\tanh mL \\[7pt]
\therefore\,\dot{Q}_f &= \sqrt{AkhS}\,(T_1-T_{\infty})\cdot\tanh mL
\end{split}
ところで、フィン全体の表面温度が根元温度 $T_1$ で一定であるとき、放熱量は $hSL(T_1-T_{\infty})$ と表せます。したがって、フィン効率は次のようになります。
\begin{split}
\eta &= \ff{\sqrt{AkhS}\,(T_1-T_{\infty})\cdot\tanh mL}{hSL(T_1-T_{\infty})} \\[8pt]
\therefore\, \eta &= \ff{\tanh mL}{mL}
\end{split}
矩形フィンのフィン効率が $mL$ のみの関数となることが分かります。
$m$ を具体的に表示すると、$\DL{m=\sqrt{\ff{Sh}{Ak}}=\sqrt{\ff{2h}{kt}\left(1+\ff{t}{w}\right)}}$ となります。今、$t\ll w$ であるため、
\begin{split}
m &\NEQ \sqrt{\ff{2h}{kt}}
\end{split}
と近似できます。
$h$ を熱伝達率、$k$ をフィンの熱伝導率、$t$ をフィンの厚み、$L$ をフィンの長さとする。
このとき、フィン効率 $\eta$ を次のように表せる。
\begin{split}
\eta &= \ff{\tanh mL}{mL}
\end{split}
ただし、$m=\DL{\sqrt{\ff{2h}{kt}}}$ とする。
フィン効率のグラフ
$h=3\,\RM{W/(m^2\,K)}, k=220\,\RM{W/(K\,m)} , t=1\,\RM{mm}$ として、$L=1\sim 10\, \RM{mm}$ までのフィン効率を計算すると、以下のようなグラフを描画できます。
グラフから分かるようにフィン効率は急激に低下し、ある程度の長さ以降ではフィン効率は変化しなくなります。
したがって、実際の設計では拡大伝熱面の適切な長さを選定する必要があると言えます。また、矩形以外の形状でも同様の議論からフィン効率を計算できます。このように、フィン形状をどう設定するのかは設計者の腕の見せ所と言えます。
