ベクトル解析の微分積分に関して、グラディエント・ダイバージェンス・ローテーションの性質とその例題を解説します。
ベクトルの表記については、以下の記事で詳しく解説しています。
参考記事
グラディエント（勾配）の性質
スカラー関数$f$に対してグラディエントを次のように定義する。
\begin{split}
\RM{grad}\,f = \nabla f \\
\,
\end{split}
グラディエントには次のような性質があります。
定数$\alpha, \beta$、スカラー関数$f, g$に関して次の性質が成立する。
\begin{split}
&(1) \qquad \nabla(\alpha f) = \alpha\nabla f \EE\\
&(2) \qquad \nabla(\alpha f + \beta g) = \alpha\nabla f + \beta\nabla g \EE\\
&(3) \qquad \nabla(fg) = g\nabla f + f\nabla g \EE\\
&(4) \qquad \nabla f(g) = \ff{\diff f(g)}{\diff g}\nabla g \\
\,
\end{split}
証明を簡単に示します。
以下、$x, y, z$方向の単位ベクトルを$\B{i}, \B{j}, \B{k}$とします。（→ベクトルの表記方法について）
(1)に関して、
\begin{split}
\nabla(\alpha f) &= \frac{\del (\alpha f)}{\del x}\bold{i} + \frac{\del (\alpha f)}{\del y}\bold{j} + \frac{\del (\alpha f)}{\del z}\bold{k} \EE
&= \alpha\frac{\del f}{\del x}\bold{i} + \alpha\frac{\del f}{\del y}\bold{j} + \alpha\frac{\del f}{\del z}\bold{k} \EE
&= \alpha\left( \frac{\del f}{\del x}\bold{i} + \frac{\del f}{\del y}\bold{j} + \frac{\del f}{\del z}\bold{k} \right) \EE
&= \alpha\nabla f \EE
\end{split}
とできて$\nabla(\alpha f) = \alpha\nabla f$となることが示せました。
(2)に関して、
\begin{split}
\nabla(\alpha f + \beta g) &= \frac{\del a(\alpha f + \beta g)}{\del x}\bold{i} + \frac{\del a(\alpha f + \beta g)}{\del y}\bold{j} + \frac{\del a(\alpha f + \beta g)}{\del z}\bold{k} \EE
&= \left( \frac{\del (\alpha f)}{\del x}\bold{i} + \frac{\del (\alpha f)}{\del y}\bold{j} + \frac{\del (\alpha f)}{\del z}\bold{k} \right) \EE
&\qquad\quad + \left( \frac{\del (\beta g)}{\del x}\bold{i} + \frac{\del (\beta g)}{\del y}\bold{j} + \frac{\del (\beta g)}{\del z}\bold{k} \right) \EE
&= \alpha\nabla f + \beta\,\nabla g
\end{split}
とできて$\nabla(\alpha f + \beta g) = \alpha\nabla f + \beta\nabla g$となることが示せました。
(3)に関して、
\begin{split}
\nabla(fg) &= \frac{\del (fg)}{\del x}\bold{i} + \frac{\del (fg)}{\del y}\bold{j} + \frac{\del (fg)}{\del z}\bold{k} \EE
&= \left( g\frac{\del f}{\del x} + f\frac{\del g}{\del x} \right)\B{i} + \left( g\frac{\del f}{\del y} + f\frac{\del g}{\del y} \right)\B{j} \EE
&\qquad\quad + \left( g\frac{\del f}{\del z} + f\frac{\del g}{\del z} \right)\B{k} \EE
&= g\left( \frac{\del f}{\del x}\bold{i} + \frac{\del f}{\del y}\bold{j} + \frac{\del f}{\del z}\bold{k} \right) \EE
&\qquad\quad+ f\left( \frac{\del g}{\del x}\bold{i}+ \frac{\del g}{\del y}\bold{j} + \frac{\del g}{\del z}\bold{k} \right) \EE
&= g\nabla f + f\nabla g
\end{split}
とできて$\nabla f(g) = \DL{\ff{\diff f(g)}{\diff g}}\nabla g$となることが示せました。
(4)に関して、連鎖律を適用すると、
\begin{split}
\nabla f(g) &= \frac{\del f(g)}{\del x}\bold{i} + \frac{\del f(g)}{\del y}\bold{j} + \frac{\del f(g)}{\del z}\bold{k} \EE
&= \frac{\del f(g)}{\del g}\frac{\del g}{\del x}\bold{i} + \frac{\del f(g)}{\del g}\frac{\del g}{\del y}\bold{j} + \frac{\del f(g)}{\del g}\frac{\del g}{\del z}\bold{k} \EE
&= \frac{\del f(g)}{\del g}\left( \frac{\del g}{\del x}\bold{i} + \frac{\del g}{\del y}\bold{j} + \frac{\del g}{\del z}\bold{k} \right) \EE
&= \ff{\diff f(g)}{\diff g}\nabla g
\end{split}
とできて$\nabla f(g) = \DL{\ff{\diff f(g)}{\diff g}}\nabla g$となることが示せました。（最終行に関して$f$は$g$のみの関数であるため、微分で表現できます。）
グラディエントの計算例題
グラディエントに関してのいくつかの例題を解いてみましょう。
例題1 $\B{r} = x\B{i} + y\B{j} + z\B{k}$、$r = |\B{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ として、$\nabla r\,\,(=\RM{grad}\,r)$を計算せよ。
グラディエントの定義より、
\begin{split}
\nabla r &= \frac{\del r}{\del x}\bold{i} + \frac{\del r}{\del y}\bold{j} + \frac{\del r}{\del z}\bold{k}
\end{split}
とできて、まず$\DL{\frac{\del r}{\del x}}$に関して、
\begin{split}
\frac{\del r}{\del x} &= \ff{\del}{\del x} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \EE
&= \ff{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \EE
&= \ff{x}{r}
\end{split}
と計算できます。
$\DL{\frac{\del r}{\del y}}, \DL{\frac{\del r}{\del z}}$についても同様に計算できて、最初の式は、
\begin{split}
\nabla r &= \frac{\del r}{\del x}\bold{i} + \frac{\del r}{\del y}\bold{j} + \frac{\del r}{\del z}\bold{k} \EE
&= \ff{x}{r}\B{i} + \ff{y}{r}\B{j} + \ff{z}{r}\B{k} \EE
&= \ff{x\B{i} + y\B{j} + z\B{k}}{r} = \ff{\B{r}}{r}
\end{split}
となります。
$\B{r} = x\B{i} + y\B{j} + z\B{k}$、$r = |\B{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ として、以下の関係が成立する。
\begin{split}
\RM{grad}\, r = \nabla r = \ff{\B{r}}{r} \\
\,
\end{split}
これより、万有引力とそのポテンシャルエネルギーの重要な関係式を証明できます。
例題2 $\B{r} = x\B{i} + y\B{j} + z\B{k}$、$r = |\B{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ とする。
このとき、$\B{F} = -G\DL{\ff{mM}{r^3}}\B{r}$、$V(r) = -G\DL{\ff{mM}{r}}$として、$\B{F} = -\RM{grad}\, V(r)$となることを証明せよ。
$V(r)$の勾配を計算しましょう。
性質1を使うと、定数を分離できて、以下の様にできます。
\begin{split}
\nabla V(r) &= \nabla\left( -G\ff{mM}{r} \right) \EE
&= -GmM\,\nabla\left(\ff{1}{r} \right) \EE
\end{split}
さらに性質4を使うと、
\begin{split}
\nabla V(r) &= -GmM\cdot\ff{\diff}{\diff r}\left( \ff{1}{r} \right)\nabla\,r \EE
&= GmM\cdot\ff{1}{r^2}\cdot\ff{\B{r}}{r} \EE
&= G\ff{mM}{r^3}\B{r}
\end{split}
となります。
したがって、$\B{F} = -\RM{grad}\, V(r)$ となることが示せました。
ダイバージェンス（発散）の性質
ベクトル場$\B{A}$に対してダイバージェンスを次のように定義する。
\begin{split}
\RM{div}\B{A} = \nabla\cdot \B{A} \\
\,
\end{split}
ダイバージェンス（発散）には次のような性質があります。
定数$\alpha, \beta$、スカラー関数$f$、ベクトル場$\B{A}, \B{B}$に関して次の性質が成立する。
\begin{split}
&(1) \qquad \nabla\cdot(\alpha\B{A}) = \alpha\nabla\cdot \B{A} \EE\\
&(2) \qquad \nabla\cdot(\alpha\B{A}+\beta\B{B}) = \alpha\nabla\cdot \B{A} + \beta\,\nabla\cdot \B{B} \EE\\
&(3) \qquad \nabla\cdot( f \B{A}) = (\nabla f)\cdot\B{A} + f(\nabla\cdot\B{A}) \\
\,
\end{split}
証明を簡単に示します。
(1)に関して、
\begin{split}
\nabla\cdot(\alpha \B{A}) &= \frac{\del (\alpha A_x)}{\del x} + \frac{\del (\alpha A_y)}{\del y} + \frac{\del (\alpha A_z)}{\del z} \EE
&= \alpha\left( \ff{\del A_x}{\del x} + \ff{\del A_y}{\del y} + \ff{\del A_z}{\del z} \right) \EE
&= \alpha\nabla\cdot \B{A} \EE
\end{split}
とできて$\nabla\cdot(\alpha\B{A}) = \alpha\nabla\cdot \B{A}$となることが示せました。
(2)に関して、
\begin{split}
\nabla\cdot(\alpha\B{A}+\beta\B{B}) &= \frac{\del (\alpha A_x+\beta B_x)}{\del x} + \frac{\del (\alpha A_y+\beta B_y)}{\del y} + \frac{\del (\alpha A_z+\beta B_z)}{\del z} \EE
&= \alpha\left( \ff{\del A_x}{\del x} + \ff{\del A_y}{\del y} + \ff{\del A_z}{\del z} \right) + \beta\left( \ff{\del B_x}{\del x} + \ff{\del B_y}{\del y} + \ff{\del B_z}{\del z} \right)\EE
&= \alpha\nabla\cdot \B{A}+\beta\,\nabla\cdot \B{B} \EE
\end{split}
とできて$\alpha\nabla\cdot \B{A} + \beta\,\nabla\cdot \B{B}$となることが示せました。
(3)に関して、
\begin{split}
\nabla\cdot(f \B{A}) &= \frac{\del (f A_x)}{\del x} + \frac{\del (f A_y)}{\del y} + \frac{\del (f A_z)}{\del z} \EE
&= \left( \ff{\del f}{\del x}A_x + f\ff{\del A_x}{\del x} \right) + \left( \ff{\del f}{\del y}A_y + f\ff{\del A_y}{\del y} \right)\EE
&\qquad + \left( \ff{\del f}{\del z}A_z + f\ff{\del A_z}{\del z} \right)\EE
&= \left( \ff{\del f}{\del x}A_x + \ff{\del f}{\del y}A_y + \ff{\del f}{\del z}A_z \right)\EE
&\qquad + f\left( \ff{\del A_x}{\del x}+\ff{\del A_y}{\del y}+\ff{\del A_z}{\del z} \right)\EE
&= (\nabla f)\cdot\B{A} + f(\nabla\cdot\B{A})
\end{split}
とできて$\nabla\cdot(f \B{A}) = (\nabla f)\cdot\B{A} + f(\nabla\cdot\B{A})$となることが示せました。
ダイバージェンスの計算例題
ダイバージェンスに関してのいくつかの例題を解いてみましょう。
例題1 $\B{r} = x\B{i} + y\B{j} + z\B{k}$、$r = |\B{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ として、$\RM{div}\, \B{r}$を計算せよ。
ダイバージェンスの定義より、
\begin{split}
\nabla\cdot r &= \frac{\del r_x}{\del x} + \frac{\del r_y}{\del y} + \frac{\del r_z}{\del z} \EE
&= \frac{\del x}{\del x} + \frac{\del y}{\del y} + \frac{\del z}{\del z} \EE
&= 3
\end{split}
と求められます。
例題２ $\B{r} = x\B{i} + y\B{j} + z\B{k}$、$r = |\B{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ として、$\RM{div} \DL{\left(\ff{\B{r}}{r^3}\right)}$を計算せよ。
性質3を利用すると、次のようにできます。
\begin{split}
\nabla\cdot \left( \ff{\B{r}}{r^3} \right) &= \left(\nabla \ff{1}{r^3}\right)\cdot\B{r}+\ff{1}{r^3}(\nabla\cdot \B{r})
\end{split}
さらに、グラディエントの性質4を使うと、
\begin{split}
\left(\nabla \ff{1}{r^3}\right)\cdot\B{r}+\ff{1}{r^3}(\nabla\cdot \B{r}) &= \ff{\diff}{\diff r}\left( \ff{1}{r^3} \right)\nabla r \cdot\B{r} + \ff{3}{r^3} \EE
&= -\ff{3}{r^4}\cdot\ff{\B{r}}{r}\cdot\B{r}+ \ff{3}{r^3} \EE
&= -\ff{3}{r^3} + \ff{3}{r^3} = 0
\end{split}
したがって、
\begin{split}
\nabla\cdot \left( \ff{\B{r}}{r^3} \right) &= 0
\end{split}
と求められます。
ローテーション（回転）の性質
ベクトル場$\B{A}$に対してローテーションを次のように定義する。
\begin{split}
\RM{rot}\B{A} = \nabla\times \B{A} \\
\,
\end{split}
ローテーション（発散）には次のような性質があります。
定数$\alpha, \beta$、スカラー関数$f$、ベクトル場$\B{A}, \B{B}$に関して次の性質が成立する。
\begin{split}
&(1) \qquad \nabla\times(\alpha\B{A}) = \alpha\nabla\times \B{A} \EE\\
&(2) \qquad \nabla\times(\alpha\B{A}+\beta\B{B}) = \alpha\nabla\times \B{A} + \beta\,\nabla\times \B{B} \EE\\
&(3) \qquad \nabla\times( f \B{A}) = (\nabla f)\times\B{A} + f\,\nabla\times\B{A} \\
\,
\end{split}
証明を簡単に示します。
(1)に関して、
\begin{split}
\nabla\times(\alpha\B{A}) &= \left( \ff{\del (\alpha A_z)}{\del y}\,- \ff{\del (\alpha A_y)}{\del z} \right)\B{i} \,- \left( \ff{\del (\alpha A_z)}{\del x}\,- \ff{\del (\alpha A_x)}{\del z} \right)\B{j} \EE
&\qquad\quad + \left( \ff{\del (\alpha A_y)}{\del x}\,- \ff{\del (\alpha A_x)}{\del y} \right)\B{k} \EE
&= \alpha\left\{ \left( \ff{\del A_z}{\del y}\,- \ff{\del A_y}{\del z} \right)\B{i} \,- \left( \ff{\del A_z}{\del x}\,- \ff{\del A_x}{\del z} \right)\B{j} \right. \EE
&\qquad\quad \left. + \left( \ff{\del A_y}{\del x}\,- \ff{\del A_x}{\del y} \right)\B{k} \right\} \EE
&= \alpha\nabla\times \B{A}
\end{split}
とできて、$\nabla\times(\alpha\B{A}) = \alpha\nabla\times \B{A}$となることが示せました。
(2)に関して、
\begin{split}
\nabla\times(\alpha\B{A}+\beta\B{B}) &= \left( \ff{\del (\alpha A_z+\beta A_z)}{\del y}\,- \ff{\del (\alpha A_y+\beta B_y)}{\del z} \right)\B{i} \EE
&\qquad- \left( \ff{\del (\alpha A_z+\beta B_z)}{\del x}\,- \ff{\del (\alpha A_x+\beta B_x)}{\del z} \right)\B{j} \EE
&\qquad\quad + \left( \ff{\del (\alpha A_y+\beta B_y)}{\del x}\,- \ff{\del (\alpha A_x+\beta B_x)}{\del y} \right)\B{k} \EE
&= \alpha\nabla\times \B{A} + \beta\,\nabla\times \B{B}
\end{split}
とできて、$\nabla\times(\alpha\B{A}+\beta\B{B}) = \alpha\nabla\times \B{A} + \beta\,\nabla\times \B{B}$となることが示せました。
(3)に関して、
\begin{split}
&\quad \nabla\times(f \B{A}) \EE
&= \left( \ff{\del (f A_z)}{\del y}\,- \ff{\del (f A_y)}{\del z} \right)\B{i} \,- \left( \ff{\del (f A_z)}{\del x}\,- \ff{\del (f A_x)}{\del z} \right)\B{j} \EE
&\qquad\quad + \left( \ff{\del (f A_y)}{\del x}\,- \ff{\del (f A_x)}{\del y} \right)\B{k} \EE
&= \left\{ \left( \ff{\del f}{\del y}A_z\,- \ff{\del f}{\del z}A_y \right)\B{i} \,- \left( \ff{\del f}{\del x}A_z\,- \ff{\del f}{\del z}A_x \right)\B{j}+ \left( \ff{\del f}{\del x}A_y\,- \ff{\del f}{\del y}A_x \right)\B{k} \right\} \EE
&\quad + f\left\{ \left( \ff{\del A_z}{\del y}\,- \ff{\del A_y}{\del z} \right)\B{i} \,- \left( \ff{\del A_z}{\del x}\,- \ff{\del A_x}{\del z} \right)\B{j} +\left( \ff{\del A_y}{\del x}\,- \ff{\del A_x}{\del y} \right)\B{k} \right\} \EE
&= (\nabla f)\times\B{A} + f\,\nabla\times\B{A}
\end{split}
とできて、$\nabla\times( f \B{A}) = (\nabla f)\times\B{A} + f\,\nabla\times\B{A}$となることが示せました。
ローテーションの計算例題
ローテーションに関してのいくつかの例題を解いてみましょう。
例題1 $f$をスカラー関数として、$\nabla\times(\nabla f)$を計算せよ。
ローテーションの定義より、
\begin{split}
\nabla\times(\nabla f) &= \left\{ \ff{\del }{\del y}\left( \ff{\del f}{\del z} \right)\,- \ff{\del }{\del z}\left( \ff{\del f}{\del y} \right) \right\}\B{i} \EE
&\quad \,- \left\{ \ff{\del}{\del x}\left( \ff{\del f}{\del z} \right)\,- \ff{\del }{\del z}\left( \ff{\del f}{\del x} \right) \right\}\B{j} \EE
&\qquad + \left\{ \ff{\del }{\del x}\left( \ff{\del f}{\del y} \right)\,- \ff{\del }{\del y}\left( \ff{\del f}{\del x} \right) \right\}\B{k} \EE
&= \left( \ff{\del^2 f}{\del y \del z}\,- \ff{\del^2 f}{\del z \del y} \right)\B{i} \,- \left( \ff{\del^2 f}{\del x \del z}\,- \ff{\del^2 f}{\del z \del x} \right)\B{j} \EE
&\qquad + \left( \ff{\del^2 f}{\del x \del y}\,- \ff{\del^2 f}{\del y \del x} \right)\B{k} \EE
&= \B{0}
\end{split}
と計算できて、$\nabla\times(\nabla f)=\B{0}$と求められます。
例題２ $\B{A}$をベクトル場として、$\nabla\cdot(\nabla\times \B{A})$を計算せよ。
\begin{split}
\nabla\cdot(\nabla\times \B{A}) &= \ff{\del}{\del x}\left( \ff{\del A_z}{\del y}\,- \ff{\del A_y}{\del z} \right) \,- \ff{\del}{\del y}\left( \ff{\del A_z}{\del x}\,- \ff{\del A_x}{\del z} \right) + \ff{\del}{\del z}\left( \ff{\del A_y}{\del x}\,- \ff{\del A_x}{\del y} \right) \EE
&= \ff{\del^2 A_z}{\del x\del y}\,-\ff{\del^2 A_y}{\del x\del z}\,- \ff{\del^2 A_z}{\del y\del x}+\ff{\del^2 A_x}{\del y\del z}+\ff{\del^2 A_y}{\del zx\del x} \,-\ff{\del^2 A_x}{\del x\del z} \EE
&= 0
\end{split}
と計算できて、$\nabla\cdot(\nabla\times \B{A}) = 0$と求められます。
$f$をスカラー関数、$\B{A}$をベクトル場として以下の関係が成立する。
\begin{split}
&\nabla\times(\nabla f)=\RM{rot}(\RM{grad} f)=\B{0} \EE\\
&\nabla\cdot(\nabla\times \B{A}) =\RM{div}(\RM{rot} f)= 0\\
\,
\end{split}
