解析力学二重振り子の周期の導出｜解析力学による二重振り子の解析
前回は振り子のひもの長さを周期的に変化させた場合の運動を解析し、マシュー方程式と呼ばれる微分方程式の導出を行いました。 今回は二重振り子と呼ばれる対象を解析力学を用いて解析していきます。 さて、二重振り子自体はシンプルな構造をしているのです...
解析力学
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解析力学マシュー方程式とパラメータ励振｜解析力学によるマシュー方程式の導出
今回は解析力学の具体例としてパラメータ励振と呼ばれる現象を取り上げ、そしてパラメータ励振と深い関わりを持つマシュー方程式の導出について解説していきます。 マシュー方程式とは？ 次のように表される微分方程式をマシュー方程式と呼ぶ \begin...
解析力学循環座標・共役な運動量とは？｜ラグランジアンと保存量の関係
解析力学において、ラグランジアンはその核となる物理量ですが、従来の力学との接点ももちろん持ちます。 それが最も分かりやすい形で現れるのが、運動量との関係です。 ラグランジアンと運動量 一般化運動量 $p_i$ と、ラグランジアン $L$ と...
解析力学ホロノミックな束縛とは？｜束縛条件と自由度
ある系に対して運動方程式を立てるとき、何本の運動方程式が必要となるのかを事前に見積もれると、非常に便利です。 さて、系の運動を決める際に必要となるパラメータの個数を物理学の世界では自由度と呼びます。 自由度とは？ 物体の位置を決めるために必...
解析力学オイラー・ラグランジュ方程式の共変性とは？｜共変性とその証明
オイラー・ラグランジュ方程式は、座標変換を施してもその形が変化しないという重要な性質を持ちます。このような性質を、オイラー・ラグランジュ方程式の共変性と呼びます。 オイラー・ラグランジュ方程式の共変性は、解析力学の根幹を成す重要な性質の一つ...
解析力学ラグランジアンとは？｜ラグランジアンの不定性と等価性
今回は解析力学にて中心的な役割を果たすラグランジアンとその性質について解説していきます。 ラグランジアンの定義 運動エネルギーを $T$、ポテンシャルエネルギーを $U$とする。 このとき、ラグランジアン $L(q,\dot{q},t)$ ...
解析力学一般化座標・一般化力とは？｜座標系の一般化とは？
ベクトルの大きさと向き自体は座標変換に関して不変です。そのため、ベクトル形式での運動方程式はどんな座標系であっても同じ形で表されます。 一方、ベクトルの成分は座標変換により変化します。直交座標から極座標への座標変換の例がその代表例です。 実...
解析力学仮想仕事の原理・ダランベールの原理とは？｜解析力学の基本原理②
解析力学には最小作用の原理という基本原理の他に、仮想仕事の原理とダランベールの原理というものがあります。 今回はこれらの原理について解説していきます。まず、仮想仕事の原理についてですが、これは次のように表現されます。 仮想仕事の原理 釣合い...
解析力学最小作用の原理とは？｜解析力学の基本原理①【ハミルトンの原理】
今回は解析力学の基本原理である最小作用の原理(ハミルトンの原理)について解説します。 最小作用の原理 時刻 $t_0,t_1$ において $q$ の値、$q(t_0)=\A,\,\,q(t_1)=\beta$ を指定したとき、$t_0\le...
解析力学リウヴィルの定理の証明｜統計力学の基礎【解析力学】【統計力学】
統計力学の基礎を成すリウヴィルの定理について解説し、一般の次元の場合での証明を示します。リウヴィルの定理は、統計力学と現実での気体の振る舞いを結びつける重要な定理です。リウヴィルの定理を活用することで、ミクロな気体分子の運動から、マクロな気体の状態を導出できるようになります。