ポアソンブラケットが任意の正準変換に対して不変であることを示していきます。
今回は上のことを示していきます。
ポアソンブラケットの表記について
冒頭の主張の証明に当たり、ポアソンブラケットに使う変数が頻繁に変わります。そのため、ポアソンブラケットに使う変数を明示した表記とすることとします。
すなわち、以下のようにポアソンブラケットを表記することとします。
仮に正準変数として $Q,P$ を用いる場合、$\{f,g \}_{Q,P}$ と表記されます。そして、具体的には次のように表示されます。
\begin{split}
\{f,g \}_{Q,P}=\sum_{i=1}^n\left(\ff{\del f}{\del Q_i}\ff{\del g}{\del P_i}-\ff{\del f}{\del P_i}\ff{\del g}{\del Q_i} \right)
\end{split}
後ほど証明しますが、ポアソンブラケットは正準変換に対して不変のため、どの正準変数で記述するのかは実は関係ありません。したがって、ポアソンブラケットの添え字は省略しても良いと言えます。
ポアソンブラケットの正準変換に対する不変性の証明
ポアソンブラケットの正準変換に対する不変性を証明する方法ですが、実は一般の関数 $f,g$ に対して証明する必要は無く、次のような言い換えの主張を証明すれば良いのです。
それぞれの正準変数の組を $(q,p),\,(Q,P)$ とする。このとき、以下が成立するならば、
$$
\left\{
\begin{split}
&\,\{Q_i,Q_j \}_{q,p}=\{Q_i,Q_j \}_{Q,P}=0 \EE
&\,\{P_i,P_j \}_{q,p}=\{P_i,P_j \}_{Q,P}=0 \EE
&\,\{Q_i,P_j \}_{q,p}=\{Q_i,P_j \}_{Q,P}=\delta_{ij}
\end{split}
\right.
$$
任意関数 $f,g$ に対しても、
\begin{split}
\{f,g \}_{q,p}=\{f,g \}_{Q,P}
\end{split}
が成立する。すなわち、正準変換に対してポアソンブラケットは不変である。
なお、$\delta_{ij}$ をクロネッカーのデルタとする。
今回の証明の前提となる、$\{Q_i,Q_j \}_{q,p}=\{Q_i,Q_j \}_{Q,P}=0$ などについてですが、これは正準変換の判定公式より成り立つと言えます。
それでは、本題の $\{f,g \}_{q,p}=\{f,g \}_{Q,P}$ について証明していきましょう。
まず、$\{f,g \}_{Q,P}$ について考えると、ポアソンブラケットの定義より以下のように書けます。
\begin{split}
\{f,g \}_{Q,P}&=\sum_{i=1}^n\left(\ff{\del f}{\del Q_i}\ff{\del g}{\del P_i}-\ff{\del f}{\del P_i}\ff{\del g}{\del Q_i} \right) \EE
\end{split}
ここで、$\DL{\ff{\del f}{\del q_i}}$ は連鎖律を用いて、
\begin{split}
\ff{\del f}{\del q_i}=\sum_{j=1}^n\left(\ff{\del f}{\del Q_j}\ff{\del Q_j}{\del q_i}+\ff{\del f}{\del P_j}\ff{\del P_j}{\del q_i}\right)
\end{split}
のようにできることを利用すると、 $\{f,g \}_{q,p}$ が次のように表示できます。
\begin{split}
\{f,g \}_{q,p}&=\sum_{i=1}^n\left(\ff{\del f}{\del q_i}\ff{\del g}{\del p_i}-\ff{\del f}{\del p_i}\ff{\del g}{\del q_i} \right) \EE
&=\sum_{i=1}^n\left\{ \sum_{j=1}^n\left(\ff{\del f}{\del Q_j}\ff{\del Q_j}{\del q_i}+\ff{\del f}{\del P_j}\ff{\del P_j}{\del q_i}\right)\sum_{k=1}^n\left(\ff{\del g}{\del Q_k}\ff{\del Q_k}{\del p_i}+\ff{\del g}{\del P_k}\ff{\del P_k}{\del p_i}\right) \right\} \\[8pt]
&\qquad-\sum_{i=1}^n\left\{ \sum_{j=1}^n\left(\ff{\del f}{\del Q_j}\ff{\del Q_j}{\del p_i}+\ff{\del f}{\del P_j}\ff{\del P_j}{\del p_i}\right)\sum_{k=1}^n\left(\ff{\del g}{\del Q_k}\ff{\del Q_k}{\del q_i}+\ff{\del g}{\del P_k}\ff{\del P_k}{\del q_i}\right) \right\}
\end{split}
これを展開してポアソンブラケットの形にまとめると、
\begin{split}
\{f,g \}_{q,p}&=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\left( \{Q_j,Q_k \}_{q,p}\ff{\del f}{\del Q_j}\ff{\del g}{\del Q_k}+\{P_j,P_k \}_{q,p}\ff{\del f}{\del P_k}\ff{\del g}{\del Q_j} \right)\\[8pt]
&\qquad+\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n \{Q_j,P_k \}_{q,p}\left(\ff{\del f}{\del Q_j}\ff{\del g}{\del P_k}-\ff{\del f}{\del P_j}\ff{\del g}{\del Q_k} \right)
\end{split}
が得られます。
今、判定公式より $\{Q_j,Q_k \}_{q,p}=\{P_j,P_k \}_{q,p}=0,$ $\,\{Q_j,P_k \}_{q,p}=\delta_{jk}$ と言えます。ゆえに、上式を
\begin{split}
\{f,g \}_{q,p}&=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n \delta_{jk}\left(\ff{\del f}{\del Q_j}\ff{\del g}{\del P_k}-\ff{\del f}{\del P_j}\ff{\del g}{\del Q_k} \right) \EE
&=\sum_{j=1}^n\left(\ff{\del f}{\del Q_j}\ff{\del g}{\del P_j}-\ff{\del f}{\del P_j}\ff{\del g}{\del Q_j} \right) \EE
&= \{f,g \}_{Q,P}
\end{split}
とできます。
以上より $\{f,g \}_{q,p}=\{f,g \}_{Q,P}$ となります。したがって、ポアソンブラケットが正準変換に対して不変であることを示せました。
