オイラー・ラグランジュ方程式は、座標変換を施してもその形が変化しないという重要な性質を持ちます。このような性質を、オイラー・ラグランジュ方程式の共変性と呼びます。
オイラー・ラグランジュ方程式の共変性は、解析力学の根幹を成す重要な性質の一つとなります。
座標変換に対してオイラー・ラグランジュ方程式は不変に保たれる。
すなわち、直交座標と一般化座標との間に以下の関係が成立する。
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff t}\left( \frac{\del L}{\del \dot{q}} \right)-\ff{\del L}{\del q}=\left\{\ff{\diff}{\diff t}\left( \frac{\del L}{\del \dot{x}} \right)-\ff{\del L}{\del x}\right\}\ff{\del x}{\del q}\\
\,
\end{split}
共変性を持つことより、どんな座標系でオイラー・ラグランジュ方程式を記述したとしても、その形をたった一つの方法で表せることが言えます。
今回はオイラー・ラグランジュ方程式の共変性について解説し、共変性が成立することの証明を行っていきます。
オイラー・ラグランジュ方程式の共変性とは？
ラグランジアン $L$ が一般化座標 $q$ と一般化速度 $\dot{q}$ を変数に持つとき、オイラー・ラグランジュ方程式は次のように表せました。
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff t}\left( \frac{\del L}{\del \dot{q}} \right)-\ff{\del L}{\del q}=0
\end{split}
ところで $L$ が直交座標での座標と速度を変数に持つ場合、オイラー・ラグランジュ方程式の形は変化するでしょうか？
これについては方程式の導出過程から分かるように、直交座標であってもオイラー・ラグランジュ方程式は変化しないと言えます。したがって、
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff t}\left( \frac{\del L}{\del \dot{x}} \right)-\ff{\del L}{\del x}=0
\end{split}
となります。このように、座標変換によっても形が変わらないような性質を共変性と呼びます。これは解析力学の根幹を成す重要な性質の一つとなります。
なお、一般化座標と直交座標で表した２つのオイラー・ラグランジュ方程式の間には、以下のような関係が成立します。
座標変換に対してオイラー・ラグランジュ方程式は不変に保たれる。
すなわち、直交座標と一般化座標との間に以下の関係が成立する。
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff t}\left( \frac{\del L}{\del \dot{q}} \right)-\ff{\del L}{\del q}=\left\{\ff{\diff}{\diff t}\left( \frac{\del L}{\del \dot{x}} \right)-\ff{\del L}{\del x}\right\}\ff{\del x}{\del q}\\
\,
\end{split}
次節にてオイラー・ラグランジュ方程式の共変性が成立することを証明していきます。
共変性の証明
オイラー・ラグランジュ方程式の共変性を証明していきます。
今回は左辺を変形して右辺を導く方針で証明を行います。まず、左辺第一項の $\DL{\ff{\del L}{\del \dot{q}}}$ については $x,\dot{x},t$ を用いて、
\begin{split}
\ff{\del L}{\del \dot{q}} &= \ff{\del L}{\del x}\ff{\del x}{\del \dot{q}}+\ff{\del L}{\del \dot{x}}\ff{\del \dot{x}}{\del \dot{q}}+\ff{\del L}{\del t}\ff{\del t}{\del \dot{q}}
\end{split}
と偏微分できます。今、$x,t$ は $\dot{q}$ を変数に持たないため、第一項および第三項は $0$ となります。したがって、
\begin{split}
\ff{\del L}{\del \dot{q}} &= \ff{\del L}{\del \dot{x}}\ff{\del \dot{x}}{\del \dot{q}}
\end{split}
これに一般化速度の重要公式を適用すると、
\begin{split}
\ff{\del L}{\del \dot{q}} &= \ff{\del L}{\del \dot{x}}\ff{\del x}{\del q}
\end{split}
が得られます。ゆえに、$\DL{\ff{\diff}{\diff t}\left(\ff{\del L}{\del \dot{q}}\right)}$ は
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff t}\left(\ff{\del L}{\del \dot{q}}\right)&=\ff{\diff}{\diff t}\left(\ff{\del L}{\del \dot{x}}\ff{\del x}{\del q}\right)\EE
&=\left\{ \ff{\diff}{\diff t}\left(\ff{\del L}{\del \dot{x}}\right) \right\}\ff{\del x}{\del q}+\ff{\del L}{\del \dot{x}}\left\{ \ff{\diff}{\diff t}\left(\ff{\del x}{\del q}\right) \right\} \EE
&= \left\{ \ff{\diff}{\diff t}\left(\ff{\del L}{\del \dot{x}}\right) \right\}\ff{\del x}{\del q}+\ff{\del L}{\del \dot{x}}\ff{\del \dot{x}}{\del q}\quad\qquad(1)
\end{split}
となります。
次に、左辺第二項の $\DL{\ff{\del L}{\del q}}$ については $x,\dot{x},t$ を用いて、
\begin{split}
\ff{\del L}{\del q} &= \ff{\del L}{\del x}\ff{\del x}{\del q}+\ff{\del L}{\del \dot{x}}\ff{\del \dot{x}}{\del q}+\ff{\del L}{\del t}\ff{\del t}{\del q}
\end{split}
と偏微分できます。$t$ は $q$ を変数に持たないため第三項は $0$ となります。したがって、
\begin{split}
\ff{\del L}{\del q} &= \ff{\del L}{\del x}\ff{\del x}{\del q}+\ff{\del L}{\del \dot{x}}\ff{\del \dot{x}}{\del q}\qquad(2)
\end{split}
となります。以上 $(1)-(2)$ より、
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff t}\left( \frac{\del L}{\del \dot{q}} \right)-\ff{\del L}{\del q}=\left\{\ff{\diff}{\diff t}\left( \frac{\del L}{\del \dot{x}} \right)-\ff{\del L}{\del x}\right\}\ff{\del x}{\del q}
\end{split}
が得られます。以上より、オイラー・ラグランジュ方程式の共変性が示せました。
