連続の式の導出｜流体力学と質量保存則【流体力学】

物理学には、ニュートンの運動法則やエネルギー保存則、質量保存則等の基本原則が存在します。

物理学の一分野である流体力学も例外ではなく、これらの基本原則が成立します。

これらの基本原則の内、今回は質量保存則がどのように流体力学に適用されるのかを解説します。

非圧縮性流体と質量保存則

まず、非圧縮性流体と質量保存則の関係を見ていきます。

図のように断面積が緩やかに変化するパイプ内を非圧縮性流体が流れているとします。

なお、非圧縮性流体であるため、パイプ内部で流体の密度が変化することはありません。（パイプから流体が漏れることも無いとします）

このとき、入口の断面積を$S_1$、出口の断面積を$S_2$とし、入口での流速を$v_1$、出口の流速を$v_2$ とします。

質量保存則より、流体が移動する過程で質量が消失することは無いので、単位時間当たりにパイプを出入りする質量は同じになると言えます。

※ 定常流のため、流体が内部に滞留することは無いためです。

単位時間当たりに流入する流体の体積$V_{\RM{in}}$については、流速と断面積を掛けたものになるので、

\begin{eqnarray}
V_{\RM{in}} = v_1S_1 \\
\end{eqnarray}

とでき、流出する流体の体積$V_{\RM{out}}$も流速と断面積を掛けたものになるので、

\begin{eqnarray}
V_{\RM{out}} = v_2S_2 \\
\end{eqnarray}

となります。

質量は体積と密度の積から計算でき、流入質量と流失質量が一致することから、

\begin{eqnarray}
\rho v_1S_1 = \rho v_2S_2 \\
\end{eqnarray}

となります。

また、単位時間当たりに移動する流体の量を流量と呼び、体積流量と質量流量の二種類があります。

体積流量は$vS$、質量流量は$\rho vS$で計算されます。

圧縮性流体と質量保存則

次に圧縮性流体と質量保存則との関係を見ていきます。

図のようなパイプ内を圧縮性流体が流れているとします。

入口の断面積を$S_1$、出口の断面積を$S_2$とし、入口での流速と密度を$v_1, \rho_1$、出口の流速と密度を$v_2, \rho_2$ とします。

流れの中で、流体の密度が変化していることが先程と異なる点です。

さて、単位時間当たりに断面を通過する質量を質量流量と呼びました。

例えば、$\D t$秒間の間に質量$\D m$の流体が通過したとすると、質量流量は、

\begin{eqnarray}
\dot{m}=\ff{\D m}{\D t}
\end{eqnarray}

と表せます。

今、$\D m=\rho (S v\D t)$であることを利用すると、質量流量は、

\begin{eqnarray}
\dot{m}=\rho v S
\end{eqnarray}

とも表せるわけです。

ところで、質量流量を使うと菅を通過する流体の質量のバランスを数式で表現でき、

入口と出口での質量流量をそれぞれ$\dot{m_1}, \dot{m_2}$とすると、

$$
\left\{
\begin{eqnarray}
\dot{m_1}=\rho_1 v_1 S_1 \EE
\dot{m_2}=\rho_2 v_2 S_2 \EE
\end{eqnarray}
\right.
$$

できて、流入流出した正味の体積を

\begin{eqnarray}
\dot{m_1}\,-\dot{m_2} = \rho_1 v_1 S_1\,-\rho_2 v_2 S_2 \EE
\end{eqnarray}

と数式で表すことができるのです。

流入した質量流量と流出した質量流量の差と、菅の質量の時間変化の割合は質量保存則より等しくなります。

したがって、菅内の質量変化を$\dot{M}$として、次のような式が成立すると言えます。

\begin{eqnarray}
\dot{M}&=&\dot{m}_2\,-\dot{m}_1 \EE
&=& \rho_2 v_2 S_2\,-\rho_1 v_1 S_1
\end{eqnarray}

菅内の質量は時間に依らず一定であるため、$\dot{M} = 0$であり、

これより、

\begin{eqnarray}
\dot{m}_1 &=& \dot{m}_2 \EE
\rho_1 v_1 S_1 &=& \rho_2 v_2 S_2 \tag{1}
\end{eqnarray}

となります。（質量流量を数式で表した利点が発揮されています）

連続の式

式(1)に関して考えると、この関係式は任意の断面で成立し、さらに流入と流出の質量流量が等しいことを主張していることに気が付きます。

すなわち、任意の断面での質量流量は時間に依らず一定であることが分かります。

このことを数式で表すと式(1)となる訳です。

流体力学にて質量保存則を適用すると式(1)が導け、そのため、この式は連続の式と呼ばれています。

連続の式は、質量保存則の流体力学での言い換えであるわけです。

連続の式を利用すると、ポンプの設計やジェットエンジンの性能を計算する際にも活躍します。