今回は非圧縮非粘性流体、すなわち理想流体の運動方程式である、オイラーの運動方程式の導出過程について解説します。
検査体積に作用する力の計算
運動方程式を導出するためには、作用する力・質量・加速度を知る必要があります。
簡単のため、検査体積の $x$ 軸方向に作用する力について考えます。さて、検査体積に作用する応力を具体的に書き出すと、下図のようになります。
したがって、合力は次のように計算できます。
\begin{split}
&\left\{ \s_{xx}-\left(\s_{xx}+\ff{\del \s_{xx}}{\del x}\diff x\right) \right\}\diff y\diff z \EE
&\qquad +\left\{ \t_{yx}-\left(\t_{yx}+\ff{\del \t_{yx}}{\del y}\diff y\right) \right\} \diff x\diff z\EE
&\qquad\qquad +\left\{ \t_{zx}-\left(\t_{zx}+\ff{\del \t_{zx}}{\del z}\diff z\right) \right\}\diff x\diff y +F_x \diff x\diff y\diff z \EE
&= -\left(\ff{\del \s_{xx}}{\del x}+\ff{\del \t_{yx}}{\del y}+\ff{\del \t_{zx}}{\del z}-F_x\right)\diff x\diff y\diff z
\end{split}
※ 応力の添え字についての規則はこちらで詳しく解説しています。
ところで、流体が非粘性流体のときせん断応力は作用しません。そのため、上式は、
\begin{split}
\left( -\ff{\del \s_{xx}}{\del x}+F_x \right)\diff x\diff y\diff z
\end{split}
と簡単にできます。ただし、$F_x$ は重力や電磁気力のような、体積に比例して大きくなるような力（＝体積力）を表します。
さて、パスカルの原理より、流体中で作用する圧力は等方であると言えるので、 $\sigma_{xx}=p$ とできます。そのため、上式は、
\begin{split}
\left( -\ff{\del p}{\del x}+F_x \right)\diff x\diff y\diff z
\end{split}
となります。以上より、$x, y, z$ 軸方向に作用する力は次のように書き出せます。
圧力を $p$、体積力を$F_i$ として、
検査体積に作用する力は次のように表せる。
$$
\left\{
\begin{split}
&x:\,\, \left(-\ff{\del p}{\del x}+F_x\right)\diff x\diff y\diff z \\[5pt]
&y:\,\, \left(-\ff{\del p}{\del y}+F_y\right)\diff x\diff y\diff z \\[5pt]
&z:\,\, \left(-\ff{\del p}{\del z}+F_z\right)\diff x\diff y\diff z
\end{split}
\right.
$$
流体の加速度とは？
検査体積の加速度について次に考えましょう。さて、検査体積が軌跡の上を図のように運動しているとします。
時刻 $t$ にて $\B{V}_1$ の速度で運動しており、$t+\D t$ にて $\B{V}_1+\D \B{V}$ の速度で運動しているとします。このとき、加速度の定義より、加速度 $\B{a}$ は次のように表せます。
\begin{split}
\B{a} = \ff{\D \B{V}}{\D t}
\end{split}
※ $\B{a}$は 加速度ベクトルを表します。加速度ベクトルの計算方法についてはこちらで詳しく解説しています。
次に、$\D \B{V}$ について考えていきます。ここで、速度ベクトルの始点までの位置ベクトルを $\B{r}_1, \B{r}_1+\D\B{r}$ とすると、$\D V$ を次のように表せます。
\begin{split}
\B{V} = \ff{\D \B{r}}{\D t}
\end{split}
問題となるのはこの計算ですが、これは全微分を利用することで求められます。すなわち、$\B{V}$ が $t,\B{r}$ を使って $\B{V}(t, \B{r})$ とできることを利用すると、
\begin{split}
\D \B{V} &= \ff{\del \B{V}}{\del t}\D t+\ff{\del \B{V}}{\del \B{r}}\D \B{r} \EE
&= \ff{\del \B{V}}{\del t}\D t+\ff{\del \B{V}}{\del \B{r}}\ff{\D \B{r}}{\D t}\diff t \EE
&= \ff{\del \B{V}}{\del t}\D t+\ff{\del \B{V}}{\del x}\ff{\D x}{\D t}\D t+\ff{\del \B{V}}{\del y}\ff{\D y}{\D t}\D t+\ff{\del \B{V}}{\del z}\ff{\D z}{\D t}\D t
\end{split}
とできます。ここで、$\DL{u=\ff{\D x}{\D t}, v=\ff{\D y}{\D t}, w=\ff{\D z}{\D t}}$とすると、
\begin{split}
\D \B{V} &= \ff{\del \B{V}}{\del t}\D t+\ff{\del \B{V}}{\del x}u\D t+\ff{\del \B{V}}{\del y}v\D t+\ff{\del \B{V}}{\del z}w\D t
\end{split}
とできて、これより、
\begin{split}
\ff{\D \B{V}}{\D t} &= \ff{\del \B{V}}{\del t}+u\ff{\del \B{V}}{\del x}+v\ff{\del \B{V}}{\del y}+w\ff{\del \B{V}}{\del z}
\end{split}
となります。めでたく検査体積の加速度を導けました。
速度ベクトルを $\B{v} = (u,v,w)$ とすると、
流体の加速度 $\B{a}$ は次のように計算できる
\begin{split}
\B{a} &= \ff{\del \B{v}}{\del t}+u\ff{\del \B{v}}{\del x}+v\ff{\del \B{v}}{\del y}+w\ff{\del \B{v}}{\del z} \\
\,
\end{split}
ところで、流体力学では次の微分をラグランジュ微分や物質微分と呼びます。
流体力学では次の式をラグランジュ微分または物質微分と呼ぶ
\begin{split}
\ff{D}{D t}=\ff{\del}{\del t}+u\ff{\del}{\del x}+v\ff{\del}{\del y}+w\ff{\del}{\del z}\\
\,
\end{split}
特別な記号を物質微分に割り当てる理由は、加速度の計算以外でも流体力学の物理量に適用できるためです。
オイラーの運動方程式の導出
検査体積に作用する力と加速度が導けました。オイラーの運動方程式の導出まであと一歩です。さて、流体の密度を $\rho$ とすると、検査体積の質量 $m$ は、
\begin{split}
m = \rho (\diff x \diff y \diff z)
\end{split}
とできるので、$x$ 軸方向に関しての検査体積の運動方程式は以下のようになります。
\begin{split}
&m\ff{D u}{D t} = \rho (\diff x \diff y \diff z)\ff{D u}{D t} = \left(-\ff{\del p}{\del x}+F_x\right)\diff x\diff y\diff z \EE
\therefore\,\, &\rho\left( \ff{\del u}{\del t}+u\ff{\del u}{\del x}+v\ff{\del u}{\del y}+w\ff{\del u}{\del z} \right) = -\ff{\del p}{\del x}+F_x
\end{split}
ただし、流体を非圧縮性流体とします。$y, z$ 軸に関しても同様に計算すると、運動方程式を次のように導けます。
$$
\left\{
\begin{split}
&\rho\left( \ff{\del u}{\del t}+u\ff{\del u}{\del x}+v\ff{\del u}{\del y}+w\ff{\del u}{\del z}\right) = -\ff{\del p}{\del x}+F_x \EE\\
&\rho\left( \ff{\del v}{\del t}+u\ff{\del v}{\del x}+v\ff{\del v}{\del y}+w\ff{\del v}{\del z}\right) = -\ff{\del p}{\del y}+F_y \EE\\
&\rho\left( \ff{\del w}{\del t}+u\ff{\del w}{\del x}+v\ff{\del w}{\del y}+w\ff{\del w}{\del z}\right) = -\ff{\del p}{\del z}+F_z
\end{split}
\right.
$$
この運動方程式を、流体力学の世界ではオイラーの運動方程式と呼びます。なお、オイラーの運動方程式は次のように整理できます。
※ $\nabla$ は“ナブラ”と読みます。この記号についてはこちらで詳しく解説しています。
$(\B{v}\cdot \nabla)\B{v}$ 計算について疑問に思った読者向けの解説になります。
$(\B{v}\cdot \nabla)\B{v}$ の計算も通常の四則演算と同じように、括弧の中身から計算を実行します。
$\B{v}=(u,v,w)$ として、始めに $\B{v}\cdot \nabla$ について計算すると、
\begin{eqnarray}
\B{v}\cdot \nabla &=&
(u\,\, v\,\, w)
\begin{pmatrix}
\DL{\ff{\del }{\del x}} \EE
\DL{\ff{\del }{\del y}} \EE
\DL{\ff{\del }{\del z}}
\end{pmatrix}
\EE
&=& u\ff{\del}{\del x}+v\ff{\del}{\del y}+w\ff{\del}{\del z}
\end{eqnarray}
となります。
この計算結果はスカラーとなることに注意してください。
これに対して $\B{v}$ を掛けると、
\begin{split}
(\B{v}\cdot \nabla)\B{v} &= \left( u\ff{\del}{\del x}+v\ff{\del}{\del y}+w\ff{\del}{\del z} \right)
\begin{pmatrix}
u \\
v \\
v
\end{pmatrix} \\[5pt]
&= \begin{pmatrix}
\DL{u\ff{\del u}{\del x}+v\ff{\del u}{\del y}+w\ff{\del u}{\del z}} \EE
\DL{u\ff{\del v}{\del x}+v\ff{\del v}{\del y}+w\ff{\del v}{\del z}} \EE
\DL{u\ff{\del w}{\del x}+v\ff{\del w}{\del y}+w\ff{\del w}{\del z}}
\end{pmatrix}
\end{split}
となります。
オイラーの運動方程式の左辺第二項が確かに導けました。
オイラーの方程式は非圧縮非粘性流体に対して成立する方程式です。
粘性流体に対して成立する流体の運動方程式を今回考えませんでしたが、粘性流体に対しても成立する運動方程式こそ、ナビエ・ストークス方程式です。ナビエ・ストークス方程式の導出過程についてはこちらで解説します。
