粘性が流れに及ぼす影響がはっきりと表れる例に、ハーゲン・ポアズイユ流れがあります。
今回はハーゲン・ポアズイユ流れの流速分布と流量について解説します。結論を示すと、ハーゲン・ポアズイユ流れの位置$x$における流速分布 $u(r)$ と流量 $Q(x)$ は次のように表せます。
原点から$x$の位置における流量$Q(x)$は次のように表せる。
\begin{split}
Q(x) &= \ff{\pi \rho R^4}{8\mu}\cdot\ff{\diff p}{\diff x}\\
\,
\end{split}
ハーゲン・ポアズイユ流れの流速分布と流量について導いていきます。
円筒内の微小領域における力の釣り合い
ハーゲン・ポアズイユ流れとは、管径が一定の円管を流れる非圧縮性のニュートン流体の層流定常流のことです。
また、この流れに対する解にも、ハーゲン・ポアズイユ流れの呼称が使われます。
例えば、パイプライン内の流れや水道管内の流れをハーゲン・ポアズイユ流れとして近似することができます。そのため、ハーゲン・ポアズイユ流れは工学的な応用も持ちます。
まずは円筒内を流れる流体の微小領域に関しての釣り合いを考えます。図のように、半径$R$で長さ$l$の円筒に密度が$\rho$（ロー）で粘性係数が$\mu$（ミュー）の流体が流れているとします。また、流れは層流であるとします。
このとき、図のように半径 $r$ で厚み $\diff x$ の微小領域に関する力の釣り合いについて考えます。
微小領域に$p_1, p_2$の圧力が作用しているとし、中心から $r$ 離れた位置でのせん断応力が$\tau$（タウ）であるとします。すると、力の釣り合い式は次のように表せます。
\begin{eqnarray}
\pi r^2\cdot p_1-\left( \pi r^2\cdot p_2+2\pi r\diff x\cdot\tau \right) = 0 \tag{1}
\end{eqnarray}
この式から、中心から $r$ 離れた位置での流速 $u(r)$ を導出することが目標になります。
ハーゲンポアズイユ流れ
式(1)より流速を導くことを目標に計算を進めていきます。まず、テイラー展開を利用すると $p_1$ と $p_2$ の間に次のような関係を導けます。
\begin{split}
p_2 &= p_1+\ff{\diff p}{\diff x}\diff x
\end{split}
これを式(1)に代入して整理すると、せん断応力が次のように求められます。
\begin{eqnarray}
\tau = -\ff{r}{2}\cdot\ff{\diff p}{\diff x} \tag{2}
\end{eqnarray}
ところで、$r$での流速を$u(r)$とすると、粘性係数と速度勾配の関係を用いて、せん断応力を次のようにも表せます。
\begin{split}
\tau = \mu \ff{\diff u}{\diff r}
\end{split}
前述の式と連立させると$\DL{\ff{\diff u}{\diff r}}$の関係を、
\begin{split}
\ff{\diff u}{\diff r} &= -\ff{r}{2\mu}\cdot\ff{\diff p}{\diff x}
\end{split}
と導け、さらに両辺を$r$に関して積分すると、
\begin{split}
u(r) &= -\ff{r^2}{4\mu}\cdot\ff{\diff p}{\diff x}+C
\end{split}
となります。ただし、$C$を積分定数とします。
壁面（$r=R$）にて流速は$0$になるため、$\DL{C=\ff{R^2}{4\mu}\cdot\ff{\diff p}{\diff x}}$となります。以上より、流速$u(r)$の式を次のように導けます。
\begin{split}
u(r) &= \ff{1}{4\mu}\left( R^2-r^2 \right)\ff{\diff p}{\diff x}
\end{split}
この式から分かるように、流速は中心で最大となり、そこから二次関数に従う速度分布になることが分かります。
※ なお、$\DL{\ff{\diff p}{\diff x}}$のことを圧力勾配と呼びます。
圧力勾配は次のように定義されます。
長さ$L$の区間を流れる間、圧力が$\D p$変化したとすると、圧力勾配は次のように定義される
\begin{split}
\ff{\D p}{L}
\end{split}
また、上流での圧力を$p_1$、下流での圧力を$p_2$として$\D p = p_2-p_1$と表せる。
圧力勾配について明示していませんが、事前に与えられた条件から圧力勾配は計算されます。以上をまとめると、ハーゲン・ポアズイユ流れでの速度分布は次のように与えられることが分かります。
内径$2R$の管内に密度$\rho$、粘性係数$\mu$の非圧縮性流体が流れ、
この流れが層流定常流であるとき、中心から$r$の位置での流速$u(r)$は次のように表せる。
\begin{split}
u(r) &= \ff{1}{4\mu}\left( R^2-r^2 \right)\ff{\diff p}{\diff x} \\
\,
\end{split}
ハーゲンポアズイユ流れの速度分布の式から分かるように、圧力勾配が小さくなるに従って、流速も小さくなることが読み取れます。
ハーゲンポアズイユ流れの流量
次に、ハーゲンポアズイユ流れにおける流量について計算してみましょう。ある位置$x$での流量を$Q(x)$とすると、流量の定義より次のように計算できます。
\begin{split}
Q(x) &= \int_0^R \rho\cdot u(r)\cdot 2\pi r\, \diff r \EE
&= \ff{\pi \rho}{2\mu}\int_0^R \left( R^2r-r^3 \right)\ff{\diff p}{\diff x} \diff r \EE
&= \ff{\pi \rho}{2\mu}\left[ \ff{1}{2}R^2r^2-\ff{1}{4}r^4 \right]_0^R \ff{\diff p}{\diff x} \EE
\therefore\,\, Q(x) &= \ff{\pi \rho R^4}{8\mu}\cdot\ff{\diff p}{\diff x}
\end{split}
この式は、目的の流量をある距離の先まで送り届けるために必要な圧力勾配を計算する際に利用されます。
原点から$x$の位置における流量$Q(x)$は次のように表せる。
\begin{split}
Q(x) &= \ff{\pi \rho R^4}{8\mu}\cdot\ff{\diff p}{\diff x}\\
\,
\end{split}
ここで、圧力勾配と流量の関係について考えてみましょう。
長さが $\diff x$ の微小区間を流れる間に圧力が $\diff p$ 変化したとすると、圧力勾配は$\DL{\ff{\diff p}{\diff x}}$とできます。
通常、上流から下流に行くに従って圧力は減少するため、$p_2-p_1< 0$となります。したがって、通常、圧力勾配も負となります。また、圧力が減少、すなわち損失していると言えるため、圧力勾配のことを圧力損失とも呼びます。
