円柱周りの流れのような基本的なポテンシャル流れを $z$ 平面から $\zeta$（ゼータ）平面に等角写像することで、複雑形状の物体周りの流れを得ることができます。
円を複雑形状に変換する方法の中で、今回はジューコフスキー変換と呼ばれる手法について解説します。
ジューコフスキー変換とは？
次の変換をジューコフスキー変換と呼びます。
次の変換をジューコフスキー変換と呼ぶ。
\begin{split}
\zeta=z+\ff{a^2}{z}\\
\,
\end{split}
式の形を見れば分かるように、ジューコフスキー変換は円柱周りの流れの複素速度ポテンシャルと同じ形式をしています。
ポテンシャル流れに変換を適用するのではなく、$z$ 平面上の円を $\zeta$ 平面上に移すという点が異なります。
円の平板へのジューコフスキー変換
ジューコフスキー変換を理解するための第一歩として、原点を中心とする半径 $a$ の円に変換を適用することを考えます。
この円は公式より $z=ae^{i\q}$ とできるので、$\zeta$ 平面へのジューコフスキー変換を次のように計算できます。
\begin{split}
\zeta&=ae^{i\q}+\ff{a^2}{ae^{i\q}}\EE
&=ae^{i\q}+ae^{-i\q}
\end{split}
ここで、オイラーの公式を用いると、
\begin{split}
\zeta=&2a\cos\q
\end{split}
となります。$\xi, \eta$ を実数として、$\zeta=\xi+i\eta$ と表すと、
\begin{split}
\xi=2a\cos\q,\quad \eta = 0
\end{split}
となります。したがって、$\xi, \eta$ 平面上では、厚みの無い長さ $4a$ の平板に写像されることが分かります。
この変換を用いることで、平板回りの流れが再現できます。
円の楕円へのジューコフスキー変換
次に、原点を中心とする半径 $R(R\neq a)$ の円のジューコフスキー変換について考えます。このときの変換は次のように計算できます。
\begin{split}
\zeta&=Re^{i\q}+\ff{a^2}{Re^{i\q}}\EE
&=\left( R+\ff{a^2}{R} \right)\cos\q+i\left( R-\ff{a^2}{R} \right)\sin\q
\end{split}
ここで、$\xi=\DL{\left( R+\ff{a^2}{R} \right)\cos\q, \eta=\left( R-\ff{a^2}{R} \right)\sin\q}$ とおくと、次の関係式を導け、
\begin{split}
\DL{\ff{\xi^2}{\left( R+\ff{a^2}{R} \right)^2}+\ff{\eta^2}{\left( R-\ff{a^2}{R} \right)^2}=1}
\end{split}
これより、上式の軌跡が楕円になることが分かります。
この変換を用いることで、楕円形の物体回りの流れを再現できます。
翼型へのジューコフスキー変換
今度は円の中心が原点に無い場合のジューコフスキー変換について考えていきます。
キャンバーを有する平板翼
例えば、虚軸（$y$軸）上に中心がある円をジューコフスキー変換すると、図のような反りを有する平板翼（円弧翼）となります。
反りのことを英語ではキャンバー（$\RM{camber}$）といいます。したがって、この平板翼はキャンバーを有する平板翼とも言われます。
ジューコフスキー翼
$z$ 平面上にて、中心が $(x_0,y_0)$ にある半径 $R$ の円に対して、ジューコフスキー変換を行うことを考えます。このとき、適切な $x_0, y_0, R$ の組み合わせを選ぶと、図のような翼型を得ることができます。
ジューコフスキー変換により得られる翼型をジューコフスキー翼と呼びます。この変換を一様流に適用することで、ジューコフスキー翼周りの流れを再現できます。
なお、$x_0, y_0, R$ の適切な組み合わせを選ばないと、ジューコフスキー翼は得られません。例えば、$x_0=-0.1, y_0=0.1, R=1.5, a=1.0$ として変換を行うと、図のような8の字を横倒しにしたような曲線となります。
ジューコフスキー翼を得るためには、次のような条件を満たさなければならないことが知られています。
ジューコフスキー翼を得るためには、$R, x_0, y_0, a$ が以下の条件を満たさなければならない。
\begin{split}
R=\sqrt{(a-x_0)^2+y_0^2} \\
\,
\end{split}
この条件は、半径 $R$ の円が原点中心の半径 $a$ の円に実軸上で交わるように $x_0, y_0$ を選んだとき、ジューコフスキー翼が得られることを意味します。
翼の各部の名称
翼型の形状に対してしばしば用いられる用語について紹介します。
翼型の各部には、図のような名称が付けられています。すなわち、翼の前方の端を前縁、後端を後縁と呼びます。英語では、それぞれ $\RM{LE:Leading\,Edge}$ $\RM{TL:Trailing\,Edge}$ と書かれます。
前縁と後縁を結ぶ縁を翼弦線といい、その長さを翼弦長と言います。また、翼型の中心線をキャンバー、翼型の厚みを翼厚と呼びます。翼型の形状はキャンバーと翼厚の分布で決まるため、翼の設計では重要なパラメータとなります。
なお、翼弦線を基準にキャンバーとの距離が最大となる長さを最大キャンバー長さ、同様に翼厚の最大の厚みを最大翼厚と言います。
翼型を一様流の中に置いたとき、置き方に応じて空力特性が変化します。詳しくは別の機会に解説しますが、空力特性に大きな影響を及ぼすのが迎角（むかえかく）です。
迎角：一様流と翼弦線との成す角のこと
迎角は一様流と翼弦線との成す角のことです。翼弦線と座標軸との成す角では無いことに注意してください。
