ナビエ・ストークス方程式は通常、解くことができません。
しかし、いくつか条件を課すことで、ナビエ・ストークス方程式が解けるようになります。
今回は、ナビエ・ストークス方程式の厳密解の一つである、二次元ポアズイユ流れの流速分布について考えていきます。
粘性係数を $\mu$、平行平板間の距離を $h$ とする。
このとき、二次元ポアズイユ流れの流速分布は次のように表せる。
\begin{split}
u(y)=\ff{1}{2\mu}\ff{\diff p}{\diff x}y(y-h) \\
\,
\end{split}
平行平板間の定常流れ
平行平板間の定常流れについて考えます。
具体的には、距離 $h$ 離れた平行平板を考えます。
また、流体は非圧縮性流体とし、平行平板間の間を流れる定常流は一方向のみに流れているとします。
したがって、流速の成分については $v=w=0$ とできます。
この条件をナビエ・ストークス方程式に適用することで、平行平板間の流れの基礎方程式を導いていきます。
基礎方程式の導出
今、流速ベクトルを $(u,v,w)=(u,0,0)$ と表せるため、
これらをナビエ・ストークス方程式に適用すると、次のように簡単な形に整理できます。
$$
\left\{
\begin{split}
&\ff{\del u}{\del t}+u\ff{\del u}{\del x} =-\ff{1}{\rho}\ff{\del p}{\del x}+\nu\left( \ff{\del^2 u}{\del x^2}+\ff{\del^2 u}{\del y^2}+\ff{\del^2 u}{\del z^2} \right) \\[6pt]
&0 =-\ff{1}{\rho}\ff{\del p}{\del y} \\[6pt]
&0 =-\ff{1}{\rho}\ff{\del p}{\del z}
\end{split}
\right.
$$
ただし、重力のような体積力は作用していないものとします。
また、流れが定常流であることから、$\DL{\ff{\del u}{\del t}=0}$ とできます。
さらに、連続方程式から、$\DL{\ff{\del u}{\del x}=0}$ と言えるため、
最終的な平行平板間の流れの基礎方程式を次のように導けます。
$$
\left\{
\begin{split}
&0 =-\ff{1}{\rho}\ff{\del p}{\del x}+\nu\left( \ff{\del^2 u}{\del y^2}+\ff{\del^2 u}{\del z^2} \right) \\[6pt]
&0 =-\ff{1}{\rho}\ff{\del p}{\del y} \\[6pt]
&0 =-\ff{1}{\rho}\ff{\del p}{\del z}
\end{split}
\right.
$$
※ 非圧縮性流体の条件、$\DL{\ff{\del \rho}{\del t}=0}$ も導出過程で利用しています。
平行平板間の定常流れの基礎方程式は次のように表せる。
$$
\left\{
\begin{split}
&\ff{1}{\rho}\ff{\del p}{\del x} =\nu\left(\ff{\del^2 u}{\del y^2}+\ff{\del^2 u}{\del z^2} \right) \\[6pt]
&\ff{1}{\rho}\ff{\del p}{\del y}=0 \\[6pt]
&\ff{1}{\rho}\ff{\del p}{\del z}=0
\end{split}
\right.
$$
次に、基礎方程式を解いて、二次元ポアズイユ流れの一般解を求めていきます。
二次元ポアズイユ流れ
基礎方程式は $u$ に関しての線形の偏微分方程式であるため、解析解を比較的楽に求めることが可能になります。
さて、基礎方程式より、$y,z$ 方向に関しては圧力が変化しないことが分かります。
したがって、圧力 $p$ は $x$ のみの関数と言えます。
また、平行平板間の流れを二次元流れとして考えると、$\DL{\ff{\del u}{\del z}=0}$ であるため、
先述の基礎方程式は、次のような一本の式に整理できます。
\begin{split}
\ff{\diff^2 u}{\diff y^2}=\ff{1}{\mu}\ff{\diff p}{\diff x}
\end{split}
この微分方程式を二回、$y$ について積分を実行すると、$u$ が次のように計算できます。
\begin{split}
u=\ff{1}{2\mu}\ff{\diff p}{\diff x}y^2+C_1\,y+C_2
\end{split}
ただし、$\mu$ を粘性係数、$C_1, C_2$ を積分定数とします。
今、２枚の平行平板が静止しているとすると、$y=0, h$ で$u=0$ という条件が課せるので、
それぞれの積分定数を以下のように求められます。
$$
\left\{
\begin{split}
C_1&=-\ff{1}{2\mu}\ff{\diff p}{\diff x}h\\[6pt]
C_2&=0
\end{split}
\right.
$$
ところで、平行平板間の二次元流れのことを、二次元ポアズイユ流れと呼びます。
ハーゲン・ポアズイユ流れはパイプ内の流れでしたが、二次元ポアズイユ流れは平行平板間の流れであることに注意してください。
粘性係数を $\mu$、平行平板間の距離を $h$ とする。
このとき、二次元ポアズイユ流れの流速分布は次のように表せる。
\begin{split}
u(y)=\ff{1}{2\mu}\ff{\diff p}{\diff x}y(y-h) \\
\,
\end{split}
平板間の流速分布も二次関数の分布となることが分かります。
ナビエ・ストークス方程式の非線形項を消去することで、解ける形に誘導したのがポイントです。
