ガウス積分は次のように定義される広義積分のことで、統計の世界では正規分布やガウス分布と呼ばれます。
$a$ を正の実数として次の広義積分をガウス積分と呼ぶ
\begin{split}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\diff x \\
\,
\end{split}
今回は統計の世界だけでなく統計力学の世界でもガウス積分は用いられます。さて、ガウス積分に関しては以下の公式が成立します。
ガウス積分について次の積分公式が成立する。($a$ は正の実数)
\begin{split}
&\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\diff x=\sqrt{\ff{\pi}{a}} \\
\,
\end{split}
今回は留数定理を利用したガウス積分の導出方法について解説します。
ガウス積分とは？
ガウス積分は次のような広義積分の形で定義されます。
$a$ を正の実数として次の広義積分をガウス積分と呼ぶ
\begin{split}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\diff x \\
\,
\end{split}
※ 極限が積分区間に含まれるような定積分のことを広義積分と呼びます。
ガウス積分の中の被積分関数 $e^{-ax^2}$ のグラフは図のような釣り鐘型の形状をしています。また、このような形状のグラフを正規分布またはガウス分布と呼びます。
ガウス積分の積分公式
ガウス積分について、その積分結果は以下のようになります。
$a$ を正の実数として次の積分公式が成立する
\begin{split}
&\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\diff x=\sqrt{\ff{\pi}{a}}\\
\,
\end{split}
ガウス積分の導出方法について考えていきます。
標準的な積分公式の導出法
・$\DL{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\diff x=\sqrt{\ff{\pi}{a}}}$ の証明
積分公式を実際に導出します。最初に最も基本的な変数変換による手法を解説します。ガウス積分の値を $I$ として、
\begin{split}
I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\diff x
\end{split}
次に $I^2$ について考えます。このとき積分変数を $y$ ともできることがポイントとなります。
\begin{split}
I^2&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\diff x\cdot \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}\diff y\EE
&= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}\diff x\diff y
\end{split}
ここで $x=r\cos\q,\,\,y=r\sin\q$ と極座標変換します。すると、
\begin{split}
x^2+y^2=r^2
\end{split}
そして、$\diff x\diff y$ についてはヤコビアン $J$ を計算することで、
\begin{split}
J&=
\begin{vmatrix}
\cos\q & -r\sin\q\\
\sin\q & r\cos\q
\end{vmatrix} = r
\end{split}
$\diff x\diff y=r\diff \q\diff r$ となります。今、積分区間が $r:0\to\infty,\,\,\q:0\to2\pi$ と変化するので、上の $I^2$ を、
\begin{split}
I^2&= \int_0^{\infty}\int_0^{2\pi}e^{-ar^2}\cdot r\diff r\diff\q
\end{split}
と変形できます。以上より、ガウス積分が次のように求められます。
\begin{split}
I^2&= \int_0^{\infty}\int_0^{2\pi}e^{-ar^2}\cdot r\diff r\diff\q \EE
&=\int_0^{2\pi}\diff\q\int_0^{\infty}re^{-ar^2}\diff r \EE
&=2\pi\times\left[-\ff{1}{2a}e^{-ar^2} \right]_0^{\infty} \EE
&= \ff{\pi}{a}
\end{split}
$I>0$ のため、$I=\DL{\sqrt{\ff{\pi}{a}}}$ となります。
留数定理によるガウス積分の導出
今回の本題である、留数定理からガウス積分を求める方法を紹介します。導出にあたって、図のような長方形に沿った周回積分を考えます。
周回積分の内側に $1$ 個の特異点 $\A$ を持つとき、留数定理より複素関数 $f(z)$ の周回積分は以下の様に計算できます。
\begin{eqnarray}
\oint f(z)\diff z=2i\pi \RM{Res}(\A)\tag{1}
\end{eqnarray}
この周回積分は $4$ つの線積分に分解でき、
\begin{split}
\oint f(z)\diff z&=\int_{C_1}f(z)\diff z+\int_{C_2}f(z)\diff z\EE
&\qquad +\int_{C_3}f(z)\diff z+\int_{C_4}f(z)\diff z
\end{split}
$C_1$ と $C_3$ の線積分については $R,b$ を実数として、
\begin{split}
\int_{C_1}f(z)\diff z&=\int_{-R}^R f(z)\diff z \EE
\int_{C_3}f(z)\diff z&=\int_{R+ib}^{-R+ib} f(z)\diff z\EE
&=-\int_{-R}^R f(z+ib)\diff z
\end{split}
と具体化できます。仮に、$\DL{\int_{C_2}f(z)\diff z+\int_{C_4}f(z)\diff z=0}$ であるとします。そして、$R\to\infty$ にて、以下の関係を満たすのであればガウス積分が計算できたと言えます。
\begin{eqnarray}
2i\pi \RM{Res}(\A)&=&\oint f(z)\diff z \EE
&=& \int_{C_1}f(z)\diff z+\int_{C_3}f(z)\diff z \EE
&=& \lim_{R\to\infty}\left(\int_{-R}^R \Big\{f(z)-f(z+ib)\Big\}\diff z\right) \tag{2}\EE
&=& \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^Re^{-az^2}\diff z
\end{eqnarray}
ただし、$a$ を正の実数とします。
複素関数の選定
上の議論が成立するためには式$(2)$の関係を満たす $f(z)$ を見つける必要があります。今後の展開を見据えて、
\begin{split}
f(z)=\ff{e^{-az^2}}{g(z)}
\end{split}
と仮定します。今、$f(z)-f(z+ib)=e^{-az^2}$ の関係を満たすので
\begin{split}
\ff{e^{-az^2}}{g(z)}-\ff{e^{-a(z+\tau)^2}}{g(z+\tau)}=e^{-az^2}
\end{split}
が成立します。ただし、$ib=\tau$ と置きました。さて、$g(z)$ についてですが、$\tau$ を周期に持つ周期関数であると考えると
\begin{split}
\ff{e^{-az^2}}{g(z)}-\ff{e^{-a(z+\tau)^2}}{g(z)}=e^{-az^2}
\end{split}
とできて、整理すると、
\begin{split}
g(z)=1-e^{-2a\tau z-a\tau^2}
\end{split}
が得られます。再び $g(z)=g(z+\tau)$ を利用すると、
\begin{split}
g(z)&=g(z+\tau)\EE
1-e^{-2a\tau z-a\tau^2}&= 1-e^{-2a\tau(z+\tau)-a\tau^2} \EE
&=(1-e^{-2a\tau z-a\tau^2})e^{-2a\tau^2}
\end{split}
となります。これより、$e^{-2a\tau^2}=1$ となる $\tau$ を選定すれば、題意の条件を満たす $f(z)$ が得られると言えます。今回は、
\begin{split}
\tau=\sqrt{\ff{i\pi}{a}}
\end{split}
を選定することとします。このようにできる根拠については、オイラーの公式を参照してください。
以上より、$f(z)$ が
\begin{split}
f(z)=\ff{e^{-az^2}}{1+e^{-2a\tau z}}\quad\left( \tau=\sqrt{\ff{i\pi}{a}} \right)
\end{split}
と求められます。
ガウス積分の計算
$f(z)$ の周回積分を実際に計算します。$f(z)$ は $z=\DL{\ff{\tau}{2}}$ で $1$ 個の極(特異点)を持ちます。これより、留数定理から $f(z)$ の周回積分は、
\begin{split}
\oint f(z)\diff z&=2i\pi\RM{Res}\left(\ff{\tau}{2} \right) \EE
&=2i\pi\lim_{z\to\ff{\tau}{2}}\ff{\left(z-\DL{\ff{\tau}{2}}\right)e^{-az^2}}{1+e^{-2a\tau z}}
\end{split}
極限値はロピタルの定理を適用して
\begin{split}
\lim_{z\to\ff{\tau}{2}}\ff{\left(z-\DL{\ff{\tau}{2}}\right)e^{-az^2}}{1+e^{-2a\tau z}}&=\lim_{z\to\ff{\tau}{2}}\ff{e^{-az^2}+\left(z-\DL{\ff{\tau}{2}}\right)(-2az)e^{-az^2}}{2a\tau\cdot e^{-2a\tau z}}\EE
&= \ff{1}{2i\sqrt{\pi a}}
\end{split}
と計算でき、これより
\begin{split}
\oint f(z)\diff z&=\sqrt{\ff{\pi}{a}}
\end{split}
が得られます。$\DL{\int_{C_2}f(z)\diff z=0,\int_{C_4}f(z)\diff z=0}$ が言えればガウス積分の導出は完了です。
まず、$C_2$ に沿った線積分についてですが、これは $t$ を実数として次のようにできます。($z=R+it$ より $\diff z=i\diff t$)
\begin{split}
\int_{C_2}f(z)\diff z&=\int_{0}^{\sqrt{\ff{\pi}{2a}}}\ff{e^{-(R+it)^2}}{1+e^{-2a\tau(R+it)}}i\diff t
\end{split}
この積分値を以下のように評価していきます。
\begin{split}
&\quad\left|\int_{0}^{\sqrt{\ff{\pi}{2a}}}\ff{e^{-(R+it)^2}}{1+e^{-2a\tau(R+it)}}i\diff t\right|\EE
&\leq \int_{0}^{\sqrt{\ff{\pi}{2a}}}\ff{\left|e^{-R^2-2iRt+t^2}\right|}{\left|1+e^{-2a\tau(R+it)}\right|}\diff t\EE
&\leq \int_{0}^{\sqrt{\ff{\pi}{2a}}} \ff{e^{-R^2+t^2}}{\left|1-|-e^{-2a\tau R}e^{-2ia\tau t}|\right|}\diff t
\end{split}
$R\to\infty$ の極限で最終行の積分は $0$ となります。ゆえに、
\begin{split}
\left|\int_{0}^{\sqrt{\ff{\pi}{2a}}}\ff{e^{-(R+it)^2}}{1+e^{-2a\tau(R+it)}}i\diff t\right|\leq 0
\end{split}
したがって、$\DL{\int_{C_2}f(z)\diff z=0}$ と言えます。
同様にして、$\DL{\int_{C_4}f(z)\diff z=0}$ となります。以上の結果より式$(2)$が成立して、
\begin{split}
\oint f(z)\diff z=\sqrt{\ff{\pi}{a}}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\diff x
\end{split}
と、ガウス積分が導けます。
ガンマ関数によるガウス積分の計算
ついでにガンマ関数という特殊関数を用いたガウス積分の導出方法についても紹介します。
さて、ガンマ関数の相反公式が成立することを認め、これに $\DL{x=\ff{1}{2}}$ を適用すると、
\begin{split}
\left\{\Gamma\left(\ff{1}{2}\right)\right\}^2 &= \pi \EE
\end{split}
となります。ゆえに、
\begin{split}
\Gamma\left(\ff{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}=\int_0^{\infty}t^{-\ff{1}{2}}e^{-t}\diff t
\end{split}
が得られます。ただし、$t>0$ とします。
ここで、$t=ax^2\,\,(a>0)$ と変数変換すると、
$$
\left\{
\begin{split}
t^{-\ff{1}{2}} &= \ff{1}{\sqrt{a}x} \EE
\diff t&= 2ax \diff x
\end{split}
\right.
$$
となり。これを上式に適用して、
\begin{split}
\sqrt{\pi}&=\int_0^{\infty}\ff{1}{\sqrt{a}x}\cdot e^{-ax^2}\cdot 2ax \diff x \EE
&= 2\sqrt{a}\int_0^{\infty}e^{-ax^2}\diff x \EE
\therefore \sqrt{\ff{\pi}{a}}&=2\int_0^{\infty}e^{-ax^2}\diff x
\end{split}
が得られます。
広義積分には、$\DL{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\diff x=2\int_{0}^{\infty}f(x)\diff x}$ という性質があります。したがって、
\begin{split}
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\diff x=\sqrt{\ff{\pi}{a}}
\end{split}
となり、ガウス積分が得られました。
