流体軸受けが軸を非接触で保持できる理由を考察します。
ここでは、流体軸受けの作用を単純化した、くさび膜内での圧力分布の様子を考察していきます。
くさび膜の負荷容量 $W$ は次のように表せる。
\begin{split}
W&= \ff{6\mu Ua^2}{h_1^2(\alpha-1)^2}\left\{ \log \alpha-\ff{2(\alpha-1)}{\alpha+1} \right\}\\
\,
\end{split}
くさび膜とは？
図のように、半径 $r$ の回転軸が角速度 $\omega$（オメガ）で回転しており、密度 $\rho$、粘性係数 $\mu$ の流体中を運動しているとします。
回転軸が外輪に最も接近した位置を拡大してみると、くさび形状をした領域と近似できます。
このような領域をくさび膜と呼びます。
今、外輪が固定されており、中心軸の表面が $U=r\omega$ の一定速度で運動していることから、
くさび膜内の流れをクエット流れとして考えることができます。
こちらで解説したように、クエット流れの流速分布は次のように表せました。
\begin{split}
u(y)=\ff{U}{h}y+\ff{1}{2\mu}\ff{\diff p}{\diff x}y(y-h) \\
\,
\end{split}
ただし、くさび膜内では隙間の間隔が変化していることに注意してください。
すなわち、入口の隙間間隔を $h_0$、出口の隙間間隔を $h_1$ とし、
出口までの間隔を $a$ とすると、出口から $x$ 離れた位置での隙間間隔は、
\begin{eqnarray}
h(x)=h_0+\ff{h_1-h_0}{a}x \tag{1}
\end{eqnarray}
とできます。
一次元レイノルズ方程式によるくさび膜の解析
さて、クエット流れからは次のような一次元レイノルズ方程式が導けました。
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff x}\left( \ff{h^3}{\mu}\ff{\diff p}{\diff x} \right) =6U\ff{\diff h}{\diff x}
\end{split}
この方程式を用いると、くさび膜内の流れについてより詳しく解析することができます。
一次元レイノルズ方程式の両辺を $x$ で積分すると、積分定数 $C$ を用いて
\begin{split}
&\ff{h^3}{\mu}\ff{\diff p}{\diff x}=6Uh+C \\[6pt]
&\ff{\diff p}{\diff x}=\ff{6\mu U}{h^2}+\ff{\mu}{h^3}C
\end{split}
とできて、$\DL{\ff{\diff p}{\diff x}=0}$ となる膜厚を $h_m$ とすると、
$C=-6Uh_m$ とおけ、これより。
\begin{eqnarray}
\ff{\diff p}{\diff x}=6\mu U\left(\ff{1}{h^2}-\ff{h_m}{h^3}\right)\tag{2}
\end{eqnarray}
と求められます。
ここから、$h$ について整理し、$\DL{\ff{\diff p}{\diff x}}$ の関係式を導くことにします。
まず、式(1)を次のように変形します。
\begin{eqnarray}
h(x)=h_1\left\{ \ff{h_0}{h_1}+\left(1-\ff{h_0}{h_1}\right)\ff{x}{a} \right\}
\end{eqnarray}
ここで、$\alpha=\DL{\ff{h_0}{h_1}}$（アルファ）、$\xi=\DL{\ff{x}{a}}$（グザイ）とおくと、
\begin{eqnarray}
h(x)=h_1\Big\{ \alpha+(1-\alpha)\xi\,\Big\}
\end{eqnarray}
できます。
上式を式(2)の微分方程式に適用すると、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff p}{\diff x}&=&\ff{1}{a}\cdot\ff{\diff p}{\diff\xi}=6\mu U\left\{\ff{1}{h_1^2(\alpha-\alpha\xi+\xi)^2}-\ff{h_m}{h_1^3(\alpha-\alpha\xi+\xi)^3}\right\}
\end{eqnarray}
となります。
これを整理すると、圧力勾配についての微分方程式を導くことができます。
\begin{eqnarray}
\ff{\diff p}{\diff\xi}=\ff{6\mu Ua}{h_1^2}\left\{\ff{1}{(\alpha-\alpha\xi+\xi)^2}-\ff{h_m}{h_1(\alpha-\alpha\xi+\xi)^3}\right\}\tag{3}
\end{eqnarray}
一連の変形により、圧力に関する微分方程式を無次元化したことがポイントになります。
くさび膜内の圧力分布の計算
導出した微分方程式から、くさび膜内の圧力分布を導きます。
式(3)を $\xi$ に関して積分すると、
\begin{split}
&\int\ff{\diff p}{\diff\xi}\,\diff \xi\EE
=&\ff{6\mu Ua}{h_1^2}\int\left\{\ff{1}{(\alpha-\alpha\xi+\xi)^2}-\ff{h_m}{h_1(\alpha-\alpha\xi+\xi)^3}\right\}\diff\xi\\[6pt]
=&\ff{6\mu Ua}{h_1^2}\ff{1}{\alpha-1}\left\{\ff{1}{\alpha-\alpha\xi+\xi}-\ff{h_m}{2h_1(\alpha-\alpha\xi+\xi)^2} \right\}+C
\end{split}
となり、$p$ を、
\begin{split}
p=&\ff{6\mu Ua}{h_1^2}\ff{2h_1(\alpha-\alpha\xi+\xi)-h_m}{2h_1(\alpha-1)(\alpha-\alpha\xi+\xi)^2}+C
\end{split}
と求められます。ただし、$C$ を積分定数とします。
さて、境界条件として $\xi=0, 1$ にて $p=p_0$ という条件を課すと、
$$
\left\{
\begin{split}
&\,\ff{6\mu Ua}{h_1^2}\ff{2h_1\alpha-h_m}{2h_1\alpha^2(\alpha-1)}+C=p_0\qquad(\xi=0) \\[6pt]
&\,\ff{6\mu Ua}{h_1^2}\ff{2h_1-h_m}{2h_1(\alpha-1)}+C=p_0\,\quad\qquad(\xi=1)
\end{split}
\right.
$$
となります。
この連立方程式から $h_m$ と $C$ を求めることができます。
まず、$h_m$ については、$h_m=\DL{\ff{2\alpha}{\alpha+1}h_1}$ と求められ、
これより、積分定数を
\begin{split}
C=p_0-\ff{6\mu Ua}{h_1^2(\alpha^2-1)}
\end{split}
と求められます。
以上より、くさび膜内の圧力分布を以下のように導出することができます。
\begin{split}
p=&\ff{6\mu Ua}{h_1^2}\cdot\ff{(\alpha-1)(1-\xi)\xi}{(\alpha+1)(\alpha-\alpha\xi+\xi)^2}+p_0
\end{split}
くさび膜内の圧力分布は次のように表される。
\begin{split}
p=&\ff{6\mu Ua}{h_1^2}\cdot\ff{(\alpha-1)(1-\xi)\xi}{(\alpha+1)(\alpha-\alpha\xi+\xi)^2}+p_0 \\
\,
\end{split}
この結果を利用して、流体軸受けが支えられる荷重について見積もってみましょう。
負荷容量の導出
圧力分布を計算できたため、次に流体軸受けが支えられる荷重（＝負荷容量）について求めてみましょう。
軸受け全体に、$p_0$ の圧力が発生しているため、くさび膜が発生させる正味の圧力は、$p-p_0$ とできます。
※ パスカルの原理から、圧力はどの面に対して等方に作用していると言えます。
したがって、くさび膜全体の負荷容量 $W$ は次のように計算でき、
\begin{split}
W&=\int_0^a (p-p_0)\diff x\\[6pt]
&=a\int_0^1 (p-p_0)\diff\xi\\[6pt]
&=\ff{6\mu Ua^2(\alpha-1)}{(\alpha+1)h_1^2}\int_0^1\ff{(1-\xi)\xi}{(\alpha-\alpha\xi+\xi)^2}\,\diff\xi
\end{split}
ここで、$\eta=\alpha-\alpha\xi+\xi$（イータ）とすると、上式は次のように整理でき、
\begin{split}
W&=\ff{-6\mu Ua^2}{(\alpha+1)(1-\alpha)^2h_1^2}\int_{\alpha}^1\left(-1+\ff{1+\alpha}{\eta}-\ff{\alpha}{\eta^2} \right)\diff\eta \\[6pt]
&=\ff{-6\mu Ua^2}{(\alpha+1)(1-\alpha)^2h_1^2}\left[-\eta+(1+\alpha)\log \eta+\ff{\alpha}{\eta}\right]_{\alpha}^1 \\[6pt]
&= \ff{6\mu Ua^2}{h_1^2(\alpha-1)^2}\left\{ \log \alpha-\ff{2(\alpha-1)}{\alpha+1} \right\}\\
\,
\end{split}
と求められます。
くさび膜の負荷容量 $W$ は次のように表せる。
\begin{split}
W&= \ff{6\mu Ua^2}{h_1^2(\alpha-1)^2}\left\{ \log \alpha-\ff{2(\alpha-1)}{\alpha+1} \right\}\\
\,
\end{split}
出口の隙間幅を固定すると、動かせるパラメータは $\alpha$ のみになります。
詳しい計算過程は示しませんが、$\alpha=2.17$ のとき、$W$ が最大となります。
つまり、入口と出口の隙間の比を約 $2:1$ としたときに負荷容量が最大となると言えます。
なお、粘性流体であるために、軸を浮かせる力が生じたこともポイントです。
粘性の存在しない理想流体では流体軸受けは動作しません。
