水平平板からの放熱は、フィンからの放熱を考える際のモデルとして重宝されます。
今回はこのうち、強制対流かつ流れが層流である場合の水平平板からの熱伝達について考え、ヌセルト数を導出する過程について解説します。
水平平板の強制対流層流熱伝達と基礎方程式
水平平板の熱伝達について考えるる準備として平板の上に発達する境界層内の流れと、エネルギーの収支について考えます。
簡単のため、今回は水平平板上の流れが層流の場合かつ強制対流での熱伝達、すなわち強制対流層流熱伝達について考えます。
一般にレイノルズ数が $5\times10^5$ 以下のとき水平平板上の流れが層流であることが知られています。今、流体が空気であるとすると、動粘度は $1.5\times10^{-5}\,\RM{m^2/s}$ ですので、長さが $1\,\RM{m}$ の平板では、風速 $7.5\,\RM{m/s}$ 以下の環境（→風速の目安）に相当します。
したがって、日常の環境であれば今回の仮定を満たすと言えます。
さて、平板の上に発達した境界層内の伝熱については、ヌセルト数を導出する際に導いた基礎方程式を流用でき、一連の方程式が成り立ちます。
$$
\left\{
\begin{split}
&\,\ff{\del u}{\del x}+\ff{\del v}{\del y} = 0 \EE
&\, u\ff{\del u}{\del x}+v\ff{\del u}{\del y} =-\ff{1}{\rho}\ff{\del p}{\del x}+\nu\ff{\del^2 u}{\del y^2} \EE
&\, u\ff{\del T}{\del x}+v\ff{\del T}{\del y} = \A \ff{\del^2 T}{\del y^2}
\end{split}
\right.
$$
ただし、$u,v$ を水平方向と垂直方向の流速、$p$ を圧力、$\A$ を熱拡散率、$\nu$ を動粘度とします。
このままでは残念ながら手が付けられないので、第$2$式の右辺第$2$項（圧力項）を無視して取り扱うこととします。
このように近似できる理由は、強制対流では、浮力の効果を表す右辺第$2$項の影響が無視できるほど小さくなるためです。
ゆえに、今回の水平平板の強制対流層流熱伝達の様子を記述する基礎方程式は、
$$
\left\{
\begin{split}
&\,\ff{\del u}{\del x}+\ff{\del v}{\del y} = 0 \EE
&\, u\ff{\del u}{\del x}+v\ff{\del u}{\del y} =\nu\ff{\del^2 u}{\del y^2}\quad\qquad(1)\EE
&\, u\ff{\del T}{\del x}+v\ff{\del T}{\del y} = \A \ff{\del^2 T}{\del y^2}
\end{split}
\right.
$$
となります。
基礎方程式の無次元化
式$(1)$を解くことで水平平板からの熱伝達を導けます。ただ、このままでは複雑なため方程式を無次元化して見通しを良くします。
ブラシウス境界層
今、流れが層流であるため、ポテンシャル流れの理論を適用できることに着目します。すると、流れ関数 $\psi$ を導入して、$u,v$ を
$$
\left\{
\begin{split}
u &= \ff{\del \psi}{\del y} \EE
v &= -\ff{\del \psi}{\del x}
\end{split}
\right.
$$
と表せます。これを利用すると第$2$式を次のように書くことができます。
\begin{split}
\ff{\del \psi}{\del y}\ff{\del^2 \psi}{\del x\del y}-\ff{\del \psi}{\del x}\ff{\del^2 \psi}{\del y^2} =\nu\ff{\del^3 \psi}{\del y^3}
\end{split}
ここで、次のような変数変換を導入して上式を書き換えます。
$$
\left\{
\begin{split}
\, &f = \ff{\psi}{\sqrt{\nu U x}} \\[7pt]
\, &\eta = \ff{y}{\DL{\sqrt{\ff{\nu x}{U}}}}
\end{split}
\right.
$$
すると、第$2$式を
\begin{eqnarray}
f^{(3)}+\ff{1}{2}ff^{(2)}=0\quad\qquad(2)
\end{eqnarray}
と整理できます。なお、境界条件は $\eta = 0:f=f’=0,\,\,\eta=\infty:f’=1$ の二つです。
これらの条件で表される境界層のことをブラシウス境界層と呼びます。式$(2)$の厳密解を得るのは難しいため、ルンゲ・クッタ法などを用いて数値解を求める手法を取ります。
エネルギー方程式の無次元化
次に、式$(1)$の$3$本目を成すエネルギー方程式の無次元化について考えます。ここで、無次元化温度として、$\q = \DL{\ff{T-T_{\infty}}{T_w-T_{\infty}}}$ を導入します。
そして、無次元化温度と最初に導入した変数変換を適用して、エネルギー方程式を変形すると以下の方程式が導けます。
\begin{split}
\ff{\A}{\nu}\q^{(2)}+\ff{1}{2}f\,\q’=0
\end{split}
ここで、プラントル数 $Pr$ が $\DL{\ff{\nu}{\A}}$ と表せることを利用すると、上式を
\begin{split}
\q^{(2)}+\ff{Pr}{2}f\,\q’=0\quad\qquad(3)
\end{split}
とできます。これより、エネルギー方程式の無次元化を達成できました。なお、境界条件は先程と同様、$\eta = 0:f=f’=0,\,\,\eta=\infty:f’=1$ の二つです。
水平平板のヌセルト数の導出
プラントル数は動粘度と温度拡散率の比であり、物質固有の値です。例えば、空気の $Pr$ は $0.7$、水は $5\sim7$、油は $100\sim 1000$ 程度となります。
さて、$Pr=1$ のとき、速度分布と温度分布は一致します。なお、これらには速度境界層、温度境界層という名前が付けられています。
また、$Pr<1$ では温度境界層が速度境界層より大きくなり、$Pr>1$ では逆の関係となります。
ヌセルト数と壁面温度勾配の関係
今回のゴールは水平平板の強制対流層流熱伝達におけるヌセルト数を求めることですが、準備としてどのようにヌセルト数が表せるのかについて考えます。
まず、壁面から流体へは熱伝導により伝熱しているとすると、フーリエの法則よりその熱流束を、
\begin{split}
q&=-k\left.\ff{\del T}{\del y}\right|_{y=0}=k(T_w-T_{\infty})\left.\ff{\del \eta}{\del y}\ff{\del \q}{\del \eta}\right|_{y=0} \EE
\therefore\, q&=k(T_w-T_{\infty})\left.\sqrt{\ff{U}{\nu x}}\q’\,\right|_{y=0}
\end{split}
と表せます。これをニュートンの冷却法則と比較すると、
\begin{split}
h&=k\left.\sqrt{\ff{U}{\nu x}}\q’\,\right|_{y=0}
\end{split}
となり、ヌセルト数の定義式に適用すると以下のようになります。
\begin{split}
Nu &=\ff{hx}{k}\EE
&=\ff{h(T_w-T_{\infty})x}{k(T_w-T_{\infty})}\EE
&=x\left.\sqrt{\ff{U}{\nu x}}\q’\,\right|_{y=0} \EE
\therefore\, Nu &= \sqrt{Re}\,\left.\q’\,\right|_{y=0}
\end{split}
これより、ヌセルト数は壁面での温度勾配とその点でのレイノルズ数により決まることが分かります。
ヌセルト数の導出
先述の議論から、式 $(2), (3)$ を連立させ $\q$ の厳密解が得られれば、直ちにヌセルト数が得られることが分かります。
ヌセルト数を求める方針は立ちましたが、$\q$ の厳密解を求めるのはかなりハードルが高いため、通常は数値計算により温度分布を求めます。
なお、$Pr=0$ とした場合、$\q$ の厳密解は次のように表せることが知られています。
$\q = 0$ の場合
\begin{split}
\q&=\ff{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\zeta}e^{-\zeta^2}\,\diff\zeta\quad\left( \zeta=\ff{\sqrt{Pr}}{2}\eta \right)
\end{split}
これより、
\begin{split}
\ff{\diff\q}{\diff\eta}=\ff{\diff\q}{\diff\zeta}\ff{\diff\zeta}{\diff\eta}=\sqrt{\ff{Pr}{\pi}}e^{-\zeta^2}
\end{split}
であるので、壁における温度勾配は、$\q=\zeta=0$ を代入して
\begin{split}
\left.\ff{\diff \q}{\diff\eta}\right|_{\eta=0}=\left.\ff{\diff \q}{\diff\zeta}\right|_{\eta=0}=\sqrt{\ff{Pr}{\pi}}
\end{split}
となり、これより $Nu$ を
\begin{split}
Nu &= \sqrt{Re}\,\left.\q’\,\right|_{y=0} \EE
&= \sqrt{\ff{1}{\pi}}\sqrt{PrRe}\EE
\therefore\,Nu &\NEQ 0.5642 \sqrt{PrRe}
\end{split}
と求められます。
なお、実用上は $0.5<Pr<15$ で十分な精度で使用できる次式が用いられます。
\begin{split}
Nu = 0.332Pr^{\ff{1}{3}}Re^{\ff{1}{2}}
\end{split}
これより、平均ヌセルト数は
\begin{split}
\overline{Nu}&=\ff{\bar{h}L}{k}\EE
&=\ff{\DL{\int_0^Lq\,\diff x}}{(T_w-T_{\infty})} \\[7pt]
&= 0.664Pr^{\ff{1}{3}}Re^{\ff{1}{2}}
\end{split}
と求められます。
