ゼータ関数と統計力学｜ゼータ関数とガンマ関数の関係とは？

統計力学で利用される重要な公式の導出のため、今回はゼータ関数とガンマ関数の関係について紹介します。

さて、ゼータ関数は以下のように定義される関数で、有名なリーマン予想とも深い関係を持つ関数です。

そして、ゼータ関数はガンマ関数を用いて次のようにも表示できます。

統計力学の世界では上の関係式に現れる積分が重要な役割を果たします。今回はゼータ関数とガンマ関数の関係を導き、この結果から統計力学の重要な公式を得ることを目指します。

ゼータ関数とガンマ関数

ゼータ関数とは？

まずゼータ関数についてですが、この関数は次のように定義される関数です。

定義から分かるようにゼータ関数は、自然数の複素数乗の逆数の総和として表されます。特別な場合でのゼータ関数の値は後ほど紹介します。

ガンマ関数によるゼータ関数の表示

さて、ゼータ関数とガンマ関数には次に示す関係があり、これを導くことが今回の話の中心となります。

上の公式を示していきます。まず、$s$ を実数としてガンマ関数は、

\begin{eqnarray}
\Gamma (s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}e^{-t} \diff t
\end{eqnarray}

と表せ、ここで、$n$ を自然数として $t=nx$ と置換すると、

\begin{split}
\Gamma (s) &= \int_0^{\infty} (nx)^{s-1}e^{-nx}n \diff x \EE
&=n^s\int_0^{\infty}x^{s-1}e^{-nx}\diff x
\end{split}

したがって、

\begin{split}
\ff{1}{n^s}&=\ff{1}{\Gamma (s)}\int_0^{\infty}x^{s-1}e^{-nx}\diff x
\end{split}

とできます。この結果をゼータ関数の定義に適用すると、以下の式が得られます。

$\DL{\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}}$ については、等比級数の公式を用いることで、

\begin{split}
\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}=\ff{e^{-x}}{1-e^{-x}}=\ff{1}{e^{x}-1}
\end{split}

であるので、

\begin{split}
\zeta(s)&=\ff{1}{\Gamma (s)}\int_0^{\infty}\ff{x^{s-1}}{e^{x}-1}\diff x
\end{split}

という関係が導けます。以上、冒頭に示したゼータ関数ガンマ関数の関係を示せました。

ゼータ関数とバーゼル問題

話は変わりますが、ゼータの値を実際に求めてみます。ここでは、バーゼル問題と呼ばれる、$s=2$ の場合のゼータの値 $\zeta(2)$ を求めていきます。

なお、今回はガンマ関数の相反公式と正弦関数のマクローリン展開の結果より $\zeta(2)$ を求める手法を紹介します。

まず、ガンマ関数の相反公式より $\sin\pi x$ は以下のように無限乗積表示でき、

\begin{split}
\sin \pi x =\pi x\prod_{n=1}^{\infty}\left( 1-\ff{x^2}{n^2} \right)
\end{split}

これの $x^3$ の係数に注目すると、その係数を $-\pi\DL{\sum_{n=1}^{\infty}\ff{1}{n^2}}=-\pi\,\zeta(2)$ と表すことができます。

次に、$\sin\pi x$ をマクローリン展開すると、

となり、今、二つの式の係数は一致しているため、$x^3$ の係数を比較すると、

\begin{split}
\pi\,\zeta(2)=\ff{1}{6}\pi^3
\end{split}

したがって、$\DL{\zeta(2)=\ff{\pi^2}{6}}$ が得られます。

この結果と先述の公式を利用することで、$s=2$ のとき

\begin{split}
\zeta(2)&=\ff{1}{\Gamma (2)}\int_0^{\infty}\ff{x}{e^{x}-1}\diff x\EE
\ff{1}{6}\pi^2&=\ff{1}{2!}\int_0^{\infty}\ff{x}{e^{x}-1}\diff x\EE
\therefore\,&\int_0^{\infty}\ff{x}{e^{x}-1}\diff x=\ff{\pi^2}{3}
\end{split}

と積分の値を求めることができます。

統計力学の重要公式の導出

最後に、統計力学で重要な役割を果たす$2$つの公式について紹介します。

証明を以下に示します。始めに部分積分によって左辺を

とでき、これにゼータ関数とガンマ関数の関係式を適用することで、

\begin{split}
k\int_0^{\infty}\ff{x^k}{e^{x}-1}\diff x&=k\cdot\Gamma(k)\cdot\zeta(k)\EE
&=k!\cdot\zeta(k)
\end{split}

が得られます。これより、公式が示されました。

証明を以下に示します。先程同様、左辺を部分積分によって

\begin{split}
\int_0^{\infty}\ff{x^k e^{x}}{(e^{x}+1)^2}\diff x=k\int_0^{\infty}\ff{x^{k-1}}{e^{x}+1}\diff x
\end{split}

とでき、さらに等比級数の形に持ち込むことで、

と変形でき、さらに、$nx=t$ と置換すると、

ここで $\DL{\sum_{n=1}^{\infty}\ff{(-1)^{n-1}}{n^k}}$ について考えると、

とできます。以上より

となって、公式が示されました。