湧き出し・吸い込みと回転流の記述方法について解説します。これらの流れは複素流体力学を使って次のように記述されます。
$k$ を実数として、湧き出し・吸い込みの複素速度ポテンシャル $w$ は次のように記述される。
\begin{split}
w=k\log z
\end{split}
また、虚数単位を $i$ として回転流の複素速度ポテンシャルは次のように記述される。
\begin{split}
w=ik\log z \\
\,
\end{split}
なお、べき関数の複素速度ポテンシャルを持つ流れについてはこちらで解説しています。
湧き出し・吸い込みとは？
まず、次のような複素速度ポテンシャルを持つ流れの様子について考えます。($k$:実数)
\begin{split}
w=k\log z
\end{split}
ここで $z=re^{i\q}$ とすると、複素対数関数の性質から、
\begin{split}
w=k\log r+i\q
\end{split}
と整理できます。
さて、複素対数関数は正則関数であるため、コーシー・リーマンの方程式を満たします。そのため、速度ポテンシャル $\varphi$ と流れ関数 $\psi$ を次のように表示できます。
$$
\left\{
\begin{split}
\,\varphi &=k\log r \EE
\,\psi &=k\q
\end{split}
\right.
$$
$\psi=const.$ の曲線は流線を表します。今、$\q=const.$ が相当するため、流線は図のようになります。
※ 極座標系の表示であることに注意してください。
湧き出し・吸い込みとは？
次に複素速度 $q$ を求めると次のようになります。
\begin{split}
q&=\ff{\diff w}{\diff z} \EE
&= \ff{\diff}{\diff z}(k\log z) = \ff{k}{z} \EE
\therefore\,\,q&= \ff{k}{r}e^{-i\q}
\end{split}
極座標系の微分公式を用いることで、流線方向の流速 $q_r$ と円周方向の流速 $q_{\q}$ が求められ、
$$
\left\{
\begin{split}
\,q_r &= \ff{\del \varphi}{\del r} = \ff{k}{r} \EE
\,q_{\q}&=\ff{1}{r}\ff{\del \varphi}{\del \q} = 0
\end{split}
\right.
$$
上式より、流線上の流速は $r$ のみで決まりまた、$k>0$ のとき $q>0$、$k<0$ のとき $q<0$ の関係があることが分かります。
このことから、$k$ の正負により、原点から遠ざかる向きと近づく向きに流れが変化すると言えます。
流れの向きを $k$ の正負で分類します。$k<0$ の場合を吸い込み($\RM{sink}$)、$k>0$ の場合を湧き出し($\RM{source}$)といいます。
$k$ を実数として、湧き出し・吸い込みの複素速度ポテンシャル $w$ は次のように記述される。
\begin{split}
w=k\log z
\end{split}
なお、$k>0$ の場合を湧き出し、$k<0$ を吸い込みと言う。
湧き出し・吸い込みの強さとは？
引き続いて流量の計算を行います。原点を中心とした半径 $R$ の検査面を考え、原点に流れ込む、または流れ出す流量を計算します。
体積流量 $Q$ は流速とそこを通過する面積の積で求められ、次のように計算できます。
\begin{split}
Q=\int_{0}^{2\pi} q_r\cdot R\,\diff \q &= \int_{0}^{2\pi} \ff{k}{R}\cdot R\,\diff \q \\[6pt]
\therefore\,\, Q&= 2\pi k
\end{split}
これより、湧き出しと吸い込みの流量の大きさは同じであることが理解できます。また、$k$ により流量の大きさが決まるため、$k$ を湧き出しまたは、吸い込みの強さと言います。
後ほど確認しますが、湧き出しや吸い込みの点は特別な点であり、複素関数論での特異点に相当する点と言えます。
湧き出し・吸い込みと流量
先述の結果から、湧き出し・吸い込みの複素速度ポテンシャルは、その流量 $Q$ を用いて次のように表現できることが分かります。
\begin{split}
w=\ff{Q}{2\pi}\log z
\end{split}
回転流とは？
次に、複素速度ポテンシャルに虚数単位を掛けた流れについて考えます。($k$:実数)
\begin{split}
w=ik\log z
\end{split}
$z=re^{i\q}$ として複素速度を計算すると、速度ポテンシャル $\varphi$ と流れ関数 $\psi$ が得られます。
$$
\left\{
\begin{split}
\,\varphi &=-k\q \EE
\,\psi &=k\log r
\end{split}
\right.
$$
流線は $\varphi=const.$ とすれば得られ、今回は $r=const.$ のときに相当します。したがって、流線が円形となることを理解できます。なお、この流れを回転流と呼びます。例えば、$k>0$ のときは図のように時計回りの流れとなります。
流線が円形を成すことから、回転流が渦であるように思われます。渦かどうかを判断するため、渦度を計算てみます。
まず、$u,v$ は次のようにでき、
$$
\left\{
\begin{split}
\,u &=\ff{\del \varphi}{\del x}=\ff{\del \varphi}{\del r}\cos\q-\ff{1}{r}\ff{\del \varphi}{\del \q}\sin\q=\ff{k}{r}\sin\q \EE
\,v &=\ff{\del \varphi}{\del y}=\ff{\del \varphi}{\del r}\sin\q+\ff{1}{r}\ff{\del \varphi}{\del \q}\cos\q=-\ff{k}{r}\cos\q
\end{split}
\right.
$$
$r=\sqrt{x^2+y^2}, x=r\cos\q,y=r\sin\q$ であることに注意すると、$u,v$ が以下のようになります。
$$
\left\{
\begin{split}
\,u &=\ff{ky}{x^2+y^2} \EE
\,v &=\ff{-kx}{x^2+y^2}
\end{split}
\right.
$$
これより、(原点以外の) 渦度を計算すると、
\begin{split}
\B{\zeta} &= \left( \ff{\del v}{\del x}-\ff{\del u}{\del y} \right)\B{k} \EE
&= \left\{ \ff{-k(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}-\ff{k(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^{\ff{3}{2}}} \right\}\B{k} \EE
&= \B{0}
\end{split}
となり、回転流の渦度が$0$ となることが分かります。
渦のように見えるのに、渦度が $\B{0}$ となることを不合理に思うかもしれません。この疑問については後ほど考えます。
回転流と循環
回転流の循環について計算を行います。循環 $\Gamma$（ガンマ）は複素速度を用いて次のように求められます。
\begin{split}
\Gamma+iQ&=\oint_C q\,\diff s\EE
&= \oint_C \ff{ik}{z}\diff z \EE
&= -2\pi k
\end{split}
これより、回転流の複素速度ポテンシャルは、循環を用いて以下のようにも表せることが分かります。
\begin{split}
w=-i\ff{\Gamma}{2\pi}\log z
\end{split}
渦糸とは？
原点を含む単純閉曲線に沿った循環について考えます。回転流の複素速度は、
\begin{split}
q=\ff{ik}{z}
\end{split}
となるため、原点を内側に含む単純閉曲線に沿った循環が次のように計算できます。
\begin{split}
\Gamma(C)&=\oint_C q\,\diff z= \oint_C \ff{ik}{z} \diff z \EE
&= -2\pi k
\end{split}
どのような閉曲線をとっても循環が一定となることが分かります。こちらで解説したように、循環は閉曲線内部の渦の総和を表します。そのため、$C$ 内部に渦が存在すると言えます。
これは回転流の渦度が $\B{0}$ となることと矛盾しているように感じますが、これは原点のみに渦が存在していると考えれば解決できます。
実際、原点を含まないように単純閉曲線を設定すると、コーシーの積分定理から $\Gamma(C)=0$ となり、原点以外に渦が存在しないことを確認できます。
流体力学では、一点に集中しているような渦のことを渦点と呼びます。
